Økonometri 1: F2 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006

Økonometri 1: F2 Dagens program Den simple regressionsmodel – SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap ) Motivation for gennemgangen af SLR Definition af SLR Antagelser for SLR Udledning af OLS estimatoren (tavlegennemgang) Forudsagte værdier og residualer ”Mekaniske” egenskaber ved OLS estimatoren Eksempel på en simpel regressionsmodel Variablernes enheder

Økonometri 1: F2 Motivation for simpel regressionsmodel (SLR) Vi beskæftiger os med modeller, hvor vi ønsker at forklare y med x. Eksempler: 1. Hvordan påvirker kunstgødning udbyttet af sojabønner (Ex 1.3)? 2. Hvordan påvirker uddannelsesniveauet timelønnen (Ex. 1.4)? 3. Hvordan afhænger virksomhedens afkast af direktørens løn (Ex. 2.3)? Regressionsmodellen vil være den samme som i Teoretisk Statistik. Estimatoren – OLS – er også den samme. De statistiske antagelser for modellen er (lidt) anderledes:  Ofte mere realistiske for økonomiske anvendelser  Grundlag for generalisering/alternativer senere i kurset

Økonometri 1: F2 Motivation (fortsat) Når modellen opstilles, er vi nødt til at forholde os konkret til flg. spørgsmål: Hvad nu, hvis x ikke er den eneste faktor, som har betydning for y ? Hvilken funktionel form kan beskrive sammenhængen mellem y og x ?  Kan y fx beskrives som en lineær funktion af x ? Eller log(x)?  Eller kan y beskrives som en funktion af x? log(x)? Kan modellen bruges til ceteris paribus fortolkninger?

Økonometri 1: F2 Definition af SLR Den simple regressionsmodel Kaldes også for den bivariate regressionsmodel y: afhængig variabel x: forklarende variabel u: (uobserveret) fejlled β 0 : konstantled (intercept) sjældent fortolkeligt β 1 : hældningskoefficient (”slope”) Konstantleddet og den forklarende variabel kaldes under ét regressorerne

Økonometri 1: F2 Definition (fortsat) Når vi opskriver den simple regressionsmodel, besvarer vi implicit spørgsmålene i motivationen: Andre faktorer: Andre faktorer (end x), som påvirker y: Er indeholdt i fejlleddet u Fejlleddet u indeholder derfor:  Udeladte faktorer/variable  Målefejl Hvad indeholder u i eksemplet med uddannelse og løn?

Økonometri 1: F2 Definition (fortsat) Funktionel form: Vi antager, at variablerne er bragt på en form, så y kan beskrives som en lineær funktion af x. En ændring i y kan forklares ved en ændring i x (forudsat Δu=0) Parameteren β 1 angiver hældningskoefficienten for y som funktion af x.

Økonometri 1: F2 Definition (fortsat) Ceteris paribus fortolkning af parameter: Vi kan ikke generelt lave ceteris paribus fortolkninger af parameterne. Fortolkningen af β 1 som effekten af x på y forudsætter at Δu=0. I uddannelse – løn eksemplet, hvad kan problemet med ceteris paribus antagelsen være ?

Økonometri 1: F2 Statistiske antagelser for regressionsmodellen Antagelse 1 - (2.5) i Wooldridge. Middelværdien af u er lig 0 Samme antagelse som i Teoretisk Statistik Antagelsen er normalt uproblematisk, så længe det er effekten af x, som er den interessante parameter, og der er et konstantled i modellen …men gør også tit fortolkningen af konstantleddet problematisk

Økonometri 1: F2 Antagelser (fortsat) Antagelse 2 - (2.6) i Wooldridge. Den betingede middelværdi af u givet x er lig 0 Denne antagelse er ofte kritisk Lidt om antagelsen (se Appendix B.4):

Økonometri 1: F2 Antagelser (fortsat) Teoretisk Statistik Økonometri 1 Antagelse 1E(u)=0 Antagelse 2ax givne (ikke stokastisk) x stokastisk Antagelse 2E(u|x)=E(u) følger af (2a) E(u|x)=E(u) per antagelse

Økonometri 1: F2 Antagelser (fortsat) Eksempel: Timeløn og uddannelse Vi har følgende model: Fejlleddet u indeholder blandt andet ”evner” og ”arbejdsiver”. Er følgende antagelsen rimelig?

Økonometri 1: F2 Udledning af OLS estimatoren OLS estimatoren udledes vha. moment metoden (Method of Moments) Ideen med moment metoden illustreres ved et eksempel:  Antag at man har en tilfældig stikprøve af n observationer af en variabel x.  x har en ukendt middelværdi, som man er interesseret i at bestemme. Dvs..  Hvad vil være et naturligt estimat for middelværdien?  Gennemsnittet!! Moment estimation går ud på at erstatte teoretiske ”momenter” med data ”momenter” (her: Gennemsnittet)

Økonometri 1: F2 Udledning (fortsat) Resten af udledningen af OLS estimatoren foregår som tavlegennemgang

Økonometri 1: F2 Forudsagte værdier og residualer Forudsagte værdier: Populations regressionsfunktionen Ud fra estimaterne for parametrene kan de forudsagte værdier af y bestemmes: Residualer: Residualerne kan bestemmes som forskellen mellem den faktiske og forudsagte værdi af y:

Økonometri 1: F2 Forudsagte værdier og residualer (fortsat) For residualerne (baseret på en OLS estimation med konstantled) gælder følgende sammenhænge mekanisk: Hvorfor er dette ikke så underligt? OLS estimatoren kan ækvivalent opnås ved at minimere residualkvadratsummen: Sådan blev OLS estimatoren udledt i Teoretisk Statistik

Økonometri 1: F2 Flere egenskaber ved OLS Variansanalyse: Den afhængige variabel y dekomponeres i to komponenter:  Forudsagte værdi:  Residualet: Variationen i y (total sum of squares) : hvor

Økonometri 1: F2 Flere egenskaber ved OLS (fortsat) Den totale variation kan også dekomponeres i to dele: SST=SSE+SSR  ”Explained sum of squares”  ”Residual sum of squares” I Teoretisk Statistik kaldes SST for SAK, SSR for SRK

Økonometri 1: F2 Egenskaber ved OLS (fortsat) Goodness of fit: På baggrund af variansanalysen kan man definere et mål for, hvor meget variation modellen (den forklarende variabel) forklarer: Hvilke værdier kan R 2 antage?

Økonometri 1: F2 Eksempel: Timeløn og uddannelse I dette eksempel estimeres en simpel model for timelønnen: Til estimationen benyttes danske registerdata fra Danmarks Statistik. Data består af 2000 tilfældigt udtrukne individer. For disse personer har vi en række oplysninger om arbejdsmarkedsforhold i perioden Datasættet ligger på forelæsningssiden under ”Eksempler”

Økonometri 1: F2 Eksempel (fortsat) Til analysen benyttes følgende variabler:  Timelønnen beregnet på baggrund af årlig lønindkomst (registreret hos SKAT) divideret med det årlige antal arbejdstimer udregnet på baggrund af ATP indbetalinger  Uddannelse er antallet af års gennemført uddannelse Vi benytter data vedr Data består af personer:  år  Lønmodtagere  Timelønnen er større end 20 kr.

Økonometri 1: F2 Enhederne på variablerne: Hjemmeopgave Hvad sker der, hvis man skifter enhed på den afhængige variabel?  Hvad sker der med estimaterne, hvis timelønnen omregnes til 2000-kr. (dvs. )?  Hvad sker der med R 2 ? Hvad sker der, hvis den forklarende variabel skifter enhed?  Hvad sker der med estimaterne, hvis uddannelse opgøres i antal måneder i stedet for år?  Hvad sker der med R 2 ?

Økonometri 1: F2 NB’er fra denne forelæsning At skelne mellem  Den simple lineære regressionsligning  Og den regneregel, vi bruger til at opnå et estimat af ligningens koefficienter (her: OLS estimatoren). At skelne mellem  Statistiske antagelser om populationen (fx )  Og de mekaniske egenskaber som fremkommer ved at anvende en given regneregel (her: OLS estimatoren) på data i en given stikprøve. De forklarende variabler opfattes som udgangspunkt som stokastiske variabler

Økonometri 1: F2 Næste gang Fredag om kapitel Husk:  ”Hjemmeopgaven” om enheder på variablerne. Øvelserne starter i denne uge:  Læs Ugeseddel 1 om estimation af Engelkurver (ugeseddel og data ligger på hjemmesiden).  Læs Varian ”Intermediate Microeconomics” kap  Medbring ”Elementær indføring i SAS” og ”Statistik med SAS”