Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 7. september 2004

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Dagens program Denne forelæsning drejer sig om den simple regressionsmodel (Wooldridge kap ) Motivation Definition Antagelser Udledning af OLS estimator (tavlegennemgang) PAUSE

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Dagens program (fortsat) Forudsagte værdier og residualer Egenskaber ved OLS estimatoren Eksempel på en simpel regressionsmodel Variablenes enheder Funktionel form

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Motivation for simpel regressionsmodel Vi beskæftiger os med modeller, hvor vi vil forklare y med x Eksempler: 1. Hvordan påvirker kunstgødning udbyttet af sojabønner 2. Hvordan påvirker uddannelsesniveauet timelønnen 3. Hvordan påvirker (det individuelle) indkomstniveau (den individuelle) opsparing

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Motivation (fortsat) Når (den økonometriske) model skal opstilles, er vi nødt til at forholde os til flg. spørgsmål: Hvad hvis x ikke er den eneste faktor, som har betydning for y ? Hvilken funktionel form beskriver sammenhængen mellem y og x ?  Kan y beskrives som en lineær funktion af x ?  Kan y beskrives som en funktion af log(x)? Skal modellen bruges til ceteris paribus fortolkninger ?

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Definition af den simple regressionsmodel Den simple regressionsmodel Denne model kaldes også for den bivariate regressionsmodel y i : afhængig variabel x i : forklarende variabel u i : (uobserveret) fejlled β 0 : konstantled (intercept) sjældent fortolkeligt β 1 : ”hældningskoefficient” Forklarende variable og konstantled kaldes også regressorer

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Definition (fortsat) Når vi opskriver den simple regressionsmodel, besvarer vi implicit spørgsmålene i motivationen: Andre faktorer. Andre faktorer (end x), som påvirker y, er antaget at være indeholdt i fejlleddet u Fejlleddet u indeholder derfor:  Udeladte faktorer/variable  Målefejl Hvad indeholder u i eksemplet med opsparing og indkomst?

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Definition (fortsat) Funktionel form. Vi antager, at y kan beskrives som en lineær funktion af x Dette betyder, at ændringer i y kan forklares ved ændringer i x (hvis Δu=0) Parameteren β 1 angiver hældningskoefficienten for y som funktion af x.

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Definition (fortsat) Ceteris paribus fortolkning af parameter. Generelt kan vi ikke lave ceteris paribus fortolkninger af parameterne Fortolkningen af β 1 som effekten af x på y er lavet under forudsætning af at Δu=0 Det gælder dog at under visse antagelser (som vi vil gennemgå senere) kan vi lave disse fortolkninger I opsparing – indkomst eksemplet hvad vil problemet med ceteris paribus antagelsen være ?

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Antagelser for regressionsmodellen Antagelse 1 (i W. (2.5)) Middelværdien af u er lig 0 Samme antagelse som i Teoretisk Statistik Denne antagelse er normalt uproblematisk, så længe det er effekten af x, som er den interessante parameter, og der er et konstantled i modellen …men gør også tit fortolkningen af konstantleddet problematisk

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Antagelser (fortsat) Antagelse 2 (W. 2.6) Den betingede middelværdi af u givet x er lig 0 Denne antagelse er tit kritisk Lidt om antagelsen (se appendix B4):

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Antagelser (fortsat) Teoretisk Statistik Økonometri 1 Antagelse 1E(u)=0 Antagelse 2ax givne (ikke stokastisk) x stokastisk Antagelse 2E(u|x)=E(u) følger af (2a) E(u|x)=E(u) per antagelse

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Antagelser (fortsat) Eksempel: timeløn og uddannelse Vi har følgende model: Fejlleddet u indeholder bl.a. evner Er følgende antagelsen rimelig:

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Udledning af OLS estimatoren OLS estimatoren udledes vha. moment metoden (Method of Moments) Ideen med moment metoden illustreres ved et eksempel:  Antag at man har N observationer af en variabel X.  X har en ukendt middelværdi , som man er interesseret i at bestemme. Dvs.  Hvad vil være et naturligt estimat for middelværdien?  Gennemsnittet!! Moment estimation går ud på at erstatte teoretiske ”momenter” med data ”momenter” (f.eks. Gennemsnittet)

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Udledning (fortsat) Resten af udledningen af OLS estimatoren foregår som tavlegennemgang

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Forudsagte værdier og residualer Forudsagte værdier: Populations regressions funktionen Udfra estimaterne for parametrene  0 og  1 kan de forudsagte værdier af y bestemmes: Residualer: Residualerne kan bestemmes som forskellen mellem den faktiske og forudsagte værdi af y:

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Forudsagte værdier og residualer (fortsat) For residualerne (baseret på en OLS estimation med konstantled) gælder følgende mekaniske sammenhæng Hvorfor er dette ikke så underligt?

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Forudsagte værdier og residualer (fortsat) Man kan vise at OLS estimatoren også kan opnås ved at minimere residualkvadratsummen Sådan udledes OLS på Teoretisk Statistik

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Egenskaber ved OLS Variansanalyse Den afhængige variabel y kan dekomponeres i to komponenter:  Forudsagte værdi :  Residualen:

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Egenskaber ved OLS (fortsat) Variationen i y (total sum of squares) SST:  hvor Den totale variation kan også dekomponeres i to dele: SST=SSE+SSR  På teoretisk statistik kaldes SST:SAK, SSR:SRK  ”Explained sum of squares”  ”Residual sum of squares”

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Egenskaber ved OLS (fortsat) Goodness of fit På baggrund af variansanalysen kan man definere et mål for, hvor meget variation modellen (den forklarende variabel) forklarer: Hvilke værdier kan R 2 antage?

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Eksempel: Timeløn og uddannelse I dette eksempel estimeres en simpel model for timelønnen: Til estimationen benyttes danske registerdata fra Danmarks Statistisk. Data består af 2000 tilfældig udtrukne individer. For disse personer har vi en række oplysninger om arbejdsmarkedsforhold i perioden

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Eksempel (fortsat) Til denne analyse benyttes følgende variabel:  Timelønnen beregnet på baggrund af årlig lønindkomst (registreret hos Skattevæsenet) divideret med det årlige antal arbejdstimer udregnet på baggrund af ATP indbetalinger  Uddannelse er antallet af års uddannelse Vi benytter data vedr Data består af  år  Lønmodtagere  Timelønnen er større end 20 kr.

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Enheden på variablene Hvad sker der, hvis man skifter enhed på den afhængige variabel? Hvad sker der med estimaterne, hvis timelønnen omregnes til 2000 kr. (dvs. )? Hvad sker der med R 2 ?

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Enhed på variablene Hvad sker der, hvis den forklarende variabel skifter enhed? Hvad sker der med estimaterne, hvis uddannelse opgøres i antal måneder i stedet for år? Hvad sker der med R 2 ?

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Funktionel form Det er ikke altid, at det er rimeligt at antage en lineær relation mellem variablene Det er nemt at ændre regressionsmodellen til også at kunne behandle ikke-lineære relationer (så længe modellen stadig er lineær i parametrene)

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Funktionel form (fortsat) Man skal dog være opmærksom på, at fortolkningen af parametrene ændrer sig! I eksemplet med timelønnen benytter man ofte følgende model ”Fortolkningen” af parametrene  1 er det procentvise afkast af et års mere uddannelse

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Funktionel form (fortsat) ModelAfhængig variabel Forklarende variabel Hæld- ning Elasti- citet Lineæryx 11  1 x/y Log-linLog(y)x 1y1y 1x1x Lin-logyLog(x)  1 /x  1 /y Log-lineærLog(y)  1 y/x 11