Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel1 Økonometri 1 Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 2 Dagens program Emnet for denne forelæsning er den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap appendix E.1-E.2) Definition og motivation Fortolkning af parametrene i den multiple regressionsmodel Sammenligning af den simple og multiple regressionsmodel Regression uden konstantled Middelrette OLS estimatorer For mange/for få variable

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 3 Definition og motivation Den multiple regressionsmodel er en udvidelse af den simple regressionsmodel Definition:  k forklarende variable: x 1,…, x k  Et konstantled  k+1 (ukendte) parametre:  u fejlled  Antagelsen E(u| x 1,…, x k )=0

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 4 Definition og motivation Fordelen ved den multiple regressionsmodel er:  Man kan eksplicit kontrollere for mange flere faktorer Det betyder, at disse faktorer ikke er indeholdt i u  Det er forhåbentlig lettere at lave ceteris paribus fortolkninger  Man kan modellere mere generelle funktionelle former F.eks. modeller som

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 5 Den multiple regressionsmodel på matrixform For n observationer kan vi opskrive y og u er en nx1 matrix (vektor) X er en nx(k+1) matrix Parameteren  er en (k+1)x1 matrix (vektor)

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 6 Regressionsmodel på matrixform Den multiple regressionsmodel kan skrives som: OLS estimatoren kan udregnes som i den simple regressionsmodel ved brug af moment metoden Moment betingelsen:

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 7 Regressionsmodel på matrix form OLS estimatoren Hvis (X’X) er invertibel (X har fuld rang) kan OLS estimatoren udregnes til OLS estimatoren kan også udledes ved at minimere

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 8 Fortolkning af OLS regression Fortolkning af OLS parametrene Antag følgende model: Den forudsagte værdi af y er givet ved Ændringerne i forudsagte værdi af y,

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 9 Fortolkning.. (fortsat) Fortolkningen af estimatet for  l :  Ændringen i y når alle øvrige forklarende variable holdes konstante:  Den multiple regressionsmodel giver mulighed for at lave ceteris paribus fortolkninger, selvom data ikke er indsamlet så enkelte variable kan holdes konstante

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 10 Eksempel: Timeløn Vi benytter nu data fra 1994 i stedet for 1980 Til denne analyse af timeløn introduceres en ny variabel:  Arbejdsmarkedserfaring (baseret på ATP indbetalinger) målt i år Modellen som estimeres er givet ved:

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 11 Fortolkning.. (fortsat) OLS estimatoren er besværlig at opskrive (med mindre man anvender matrixformen) I tilfældet med to forklarende variable kan man dog få et udtryk for OLS estimaterne:  Model Estimatet for  1 kan skrives som  Hvor r 1 er residualerne fra følgende OLS regression

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 12 Fortolkning.. (fortsat) Residualerne r 1 kan altså fortolkes som den del af x 1 som er ukorreleret med x 2 r 1 er effekten af x 1 efter at have ”kontrolleret” for x 2 Estimatet af  1 kan opnås ved følgende procedure:  Regresser x 1 på x 2 og udregn residualerne r 1  Regresser y på residualerne r 1

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 13 OLS Residualer For OLS residualer fra den multiple regressionsmodel (med et konstantled) gælder følgende:  Gennemsnittet af residualerne er lig 0:  Den empiriske kovarians mellem residualer og de forklarende variable er lig 0:  Punktet er altid på på OLS regressionslinien

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 14 OLS residualer (fortsat) Goodness of fit: Læs selv Dette er helt analogt til den simple lineære regressionsmodel

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 15 Regressionsmodel uden konstantled Regressionsmodel uden konstantled estimeret med OLS I denne model gælder:  OLS residualerne har ikke gennemsnit lig 0  R 2 er re-defineret til og kan blive negativet  Hvis populations modellen indeholder et konstantled, vil OLS estimaterne af  1, …  k være biased (ikke middelrette)

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 16 Middelret OLS estimator Antagelser  MLR 1 (lineær i parametrene): Den afhængige variabel y kan beskrives ved følgende model:  MLR 2 (tilfældig stikprøve): Vi har en tilfældig stikprøve (y i,x i1, x i2,.., x ik ) i=1,..,n fra populationen (se definition i appendix c.1)

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 17 Middelret..(fortsat) MLR 3 (ingen perfekt multikollinaritet)  I stikprøven (og i populationen) kan ingen af de forklarende variable skrives som en lineær funktion af de øvrige De forklarende variable må godt være korreleret f.eks.: kan både x og x 2 være forklarende variable Eksempler på perfekt multikollinaritet:  Alder og fødselsår (i tværsnitsdata)  Antallet af observationer er lille (n<k+1)

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 18 Middelret.. (fortsat)  MLR 4 (betinget middelværdi af fejlled): Grunde til at MLR 4 ikke er opfyldt: Forkert funktionel form (mere om dette i kap. 9) Udeladte variable, som er korreleret med en af de forklarende variable Målefejl i de forklarende variable (mere om dette i kap. 9) Hvis MLR 4 er opfyldt kaldes de forklarende variable for eksogene forklarende variable Hvis x j er korreleret med u kaldes x j for endogen forklarende variable

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 19 Middelret.. (fortsat) Teorem 3.1 Under antagelse MLR 1-MLR 4 gælder: Bevis laves som i appendix E.2 (tavlegennemgang)

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 20 For mange variable i modellen Irrelevante variable i regressionsmodellen: Eksempel:  Den sande model (som opfylder MLR 1-MLR4)  Regressionsmodellen som estimeres med OLS:  Har det betydning for estimaterne af β 0, β 1 og β 2 ?  Estimaterne er stadig middelrette:  Men inklusion af irrelevante variable påvirker variansen af estimaterne

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 21 For få variable Udeladte relevante variable OLS estimaterne er biased (ikke middelrette) Eksempel:  Den sande model (som opfylder MLR 1- 4)  Regressionsmodellen som estimeres ved OLS   Middelværdien af OLS estimatet

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 22 For få variable Bias Corr(x 1,x 2 ) positiv Corr(x 1,x 2 ) negativ β 2 >0 Positiv bias Negativ Bias β 2 <0 Negativ bias Positiv bias