Økonometri 1: F51 Økonometri 1 Den multiple regressionsmodel 22. september 2006

Økonometri 1: F5 2 Dagens program Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap ) Opsamling fra sidst: Sammenligning med den simple regressionsmodel Statistiske egenskaber generelt:  Antagelser for den multiple regressionsmodel  OLS er middelret For få/for mange variabler i modellen  Variansen på OLS estimatoren Multikollinearitet  Estimat af variansen på fejlleddet Gauss-Markov teoremet: OLS er bedst blandt lineære middelrette estimatorer

Økonometri 1: F5 3 Antagelser: Multipel regressionsmodel MLR.1 (lineær i parametrene): Den afhængige variabel y kan beskrives ved følgende model: MLR.2 (tilfældig stikprøve): Vi har en tilfældig stikprøve fra populationen (se definition i appendix C.1)

Økonometri 1: F5 4 Antagelser (fortsat) MLR.3 (ingen perfekt multikollinaritet)  I stikprøven (og i populationen) kan ingen af de forklarende variable skrives som en lineær funktion af de øvrige. De forklarende variable må godt være korreleret. Fx kan både og være forklarende variable Eksempler på perfekt multikollinaritet:  Alder og fødselsår (i tværsnitsdata)  For lavt antal observationer ( )  Modellen:

Økonometri 1: F5 5 Antagelser (fortsat) MLR.4 (betinget middelværdi af fejlled):  Årsager til at MLR.4 måske ikke er opfyldt: Forkert funktionel form (mere om det i kap. 9) Udeladte variable, som er korreleret med en af de forklarende variabler Målefejl i de forklarende variabler (mere om det i kap. 9) Hvis MLR.4 er opfyldt kaldes de forklarende variable for eksogene forklarende variabler Hvis er korreleret med kaldes for en endogen forklarende variabel

Økonometri 1: F5 6 OLS er middelret Teorem 3.1 Under antagelse MLR.1-MLR.4 gælder: Bevis laves som i appendix E.2 (tavlegennemgang)

Økonometri 1: F5 7 For mange variabler i modellen Irrelevante variabler i regressionsmodellen: Eksempel:  Den sande model (som opfylder MLR.1-MLR.4)  Regressionsmodellen som estimeres med OLS:  Hvilken betydning har det for estimaterne af  Estimaterne er stadig middelrette:  Men fordi der er en irrelevant variabel i modellen påvirkes variansen af estimatorerne

Økonometri 1: F5 8 For få variabler i modellen Udeladte relevante variabler: OLS estimaterne er biased (ikke middelrette) Eksempel:  Den sande model (som opfylder MLR.1- 4)  Regressionsmodellen som estimeres ved OLS  Middelværdien af OLS estimatet:

Økonometri 1: F5 9 For få variabler i modellen Retning af bias: Positiv biasNegativ Bias Negativ bias Positiv bias

Økonometri 1: F5 10 Variansen af OLS estimatoren Antagelse MLR.5 (homoskedasticitet): Hvis antagelsen ikke er opfyldt, siges fejlleddet at være heteroskedastisk Antagelsen er ikke opfyldt hvis variansen f.eks. er givet ved eller

Økonometri 1: F5 11 Variansen på OLS estimatoren (fortsat) Antagelsen MLR.5 kan også formuleres ved brug af matricer (se appendix E.2):

Økonometri 1: F5 12 Variansen på OLS estimatoren (fortsat) Antagelserne MLR.1-MLR.5 kaldes Gauss-Markov antagelserne Teorem 3.2 Under antagelserne MLR.1-MLR.5 er variansen af OLS estimatoren givet ved

Økonometri 1: F5 13 Variansen på OLS estimatoren (fortsat) Matrixformen for variansen er som regel lettest at arbejde med. Til at fortolke variansen kan det være lettere at benytte følgende opskrivning af variansen: og stammer fra regressionen af på de øvrige forklarende variabler Bevis for ovenstående opskrivning af variansen, se appendix i kap. 3.

Økonometri 1: F5 14 De tre komponenter i variansen

Økonometri 1: F5 15 Multikollinearitet Multikollinaritet optræder, når er tæt på 1  Optræder når nogle af de forklarende variable er højt korrelerede og/eller der er få observationer. Er det et problem, hvis der er multikollinaritet?  Variansen på estimatet vil være stor (se figur 3.1)  Det afhænger af hvad analysen skal bruges til  Høj korrelation mellem nogle af de forklarende variable betyder ikke så meget, hvis det ikke er estimaterne til disse parametre, man primært er interesseret i. Hvad stiller man op med multikollinaritet  Indsamler mere data  Dropper en eller flere variable fra modellen. Dette er dog langt fra altid en god ide (problemer med udeladte variable)

Økonometri 1: F5 16 Estimatet på variansen af fejlleddet Estimatet på variansen af fejlleddet udregnes stort set som i den simple regressionsmodel Ud fra OLS estimaterne kan residualerne beregnes: Variansestimatet beregnes til: Nævneren: Antal frihedsgrader = antal obs. – antal regressorer Teorem 3.3  Hvis Gauss-Markov antagelserne (MLR.1- MLR.5) er opfyldt, er estimatet på variansen af fejlleddet middelret:

Økonometri 1: F5 17 Gauss-Markov teoremet Hvis Gauss-Markov antagelserne er opfyldt, kan man vise, at OLS estimatoren er den estimator, som har den mindste varians blandt lineære middelrette estimatorer Hvorfor er det at vigtigt at bruge en estimator med mindst mulig varians? Egenskaben kaldes også BLUE for:  Best – (mindst varians)  Linear  Unbiased  Estimator

Økonometri 1: F5 18 Gauss-Markov teoremet Teorem 3.4 Under Gauss-Markov antagelserne (MLR.1-MLR.5) gælder der, at OLS estimaterne for er BLUE Bevis (se appendix E.2)

Økonometri 1: F5 19 NB’er fra denne forelæsning En relevant men udeladt variabel giver bias, hvis den er korreleret med variabler i modellen Det simple tilfælde med en medtaget og en udeladt variabel: Retning af bias afhænger af:  Fortegnet for den sande effekt af den udeladte variabel  Fortegnet for korrelationen mellem de to variabler Komponenter i variansen på OLS estimatoren. BLUE egenskaben af OLS under Gauss-Markov antagelserne.

Økonometri 1: F5 20 Næste gang: Mandag:  Simulationseksperimenter (forelæsningsnote)  Inferens i den lineære regressionsmodel (kap ): Fordeling af OLS estimatoren Test Konfidensintervaller Øvelser: Ugeseddel 3:  Estimation af en ikke-lineær Engelkurve.  OLS ved hjælp af matricer (IML).  En alternativ estimator.