Økonometri 1: F41 Økonometri 1 Den multiple regressionsmodel 18. september 2006

Økonometri 1: F4 2 Dagens program Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap. 2.5). Den multiple lineære regressionsmodel (W kap appendix E.1-E.2)  Definition og motivation  Fortolkning af parametrene i den multiple regressionsmodel  Sammenligning af den simple og multiple regressionsmodel  Middelrette OLS estimatorer

Økonometri 1: F4 3 Definition og motivation Den multiple regressionsmodel er en udvidelse af den simple regressionsmodel Definition:  k forklarende variable: x 1,…, x k  Et konstantled  k+1 (ukendte) parametre: (og )  Fejlleddet  Antagelsen

Økonometri 1: F4 4 Definition og motivation Fordele ved den multiple regressionsmodel:  Man kan eksplicit kontrollere for flere faktorer  Det betyder, at disse faktorer ikke er indeholdt i u  Forhåbentlig lettere at lave ceteris paribus fortolkninger: er effekten på af at ændre med én enhed, alt andet lige (dvs. givet og de andre x’er).  Man kan modellere mere generelle funktionelle former: F.eks. modeller som og

Økonometri 1: F4 5 Den multiple regressionsmodel på matrixform For n observationer kan vi opskrive: y og u er nx1 matricer (vektorer) X er en nx(k+1) matrix Parameteren er en (k+1)x1 matrix (vektor)

Økonometri 1: F4 6 Regressionsmodel på matrixform Den multiple regressionsmodel kan så skrives som: OLS estimatoren kan udregnes som i den simple regressionsmodel ved brug af moment metoden Moment betingelsen: OLS estimatoren findes fra den analoge betingelse i stikprøven: Hvis er invertibel ( har fuld rang):

Økonometri 1: F4 7 Fortolkning af OLS estimaterne Antager følgende model: Den forudsagte værdi af y er givet ved: Ændringerne i forudsagt værdi af y: Ændringen i, når alle øvrige forklarende variabler holdes konstant: Den multiple model giver mulighed for at lave ceteris paribus fortolkninger, selvom data ikke er indsamlet så de enkelte variabler faktisk holdes konstant.

Økonometri 1: F4 8 Sammenligning med den simple regressionsmodel OLS estimatoren er besværlig at opskrive (med mindre man anvender matrixformen) Man kan vise (Frisch-Waugh-LovelI teoremet) at der findes et simpelt udtryk for OLS estimaterne:  Ex. k=2: Estimatet for  1 kan skrives som (*) hvor er residualerne fra følgende OLS ”hjælpe”- regression: Hjemmeopgave: Vis at i (*) kan erstattes med residualerne fra en hjælperegression af på

Økonometri 1: F4 9 Sammenligning med den simple regressionsmodel

Økonometri 1: F4 10 OLS residualer For OLS residualer fra den multiple regressionsmodel (med et konstantled) gælder per konstruktion:  Gennemsnittet af residualerne er lig 0:  Den empiriske kovarians mellem residualerne og hver forklarende variabel er lig 0:  Punktet er altid på OLS regressionslinien

Økonometri 1: F4 11 NB’er fra denne forelæsning Ceteris paribus fortolkning af koefficienterne i den multiple regressionsmodel i forhold til:  Uobserverbare faktorer i u  Observerede variabler i Udledning af OLS estimatoren på matrixform Regressionskoefficienter i den multiple lineære regressionsmodel ”kontrollerer” for de øvrige forklarende variabler i modellen.

Økonometri 1: F4 12 Næste gang: Fredag (NB!): Mere om multipel regression (kap. 3 og appendix E):  Udeladte variabler  Statistiske egenskaber  Gauss-Markov teoremet: OLS er bedst blandt lineære middelrette estimatorer. Øvelser: Ugeseddel 2: Mere om estimation af Engelkurver.