Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel1 Kvantitative metoder 2 Inferens i den lineære regressionsmodel 7. marts 2007

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 2 Opgave fra sidst (Gauss-Markov teoremet) Opgave: Vis at hvis

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 3 Oversigt: de næste forelæsninger Statistisk inferens: Det drejer sig om at man med udgangspunkt i en statistisk model kan drage konklusioner på grundlag af data. Dette indebærer blandt andet estimation af parametre samt metoder til afprøvning af statistiske hypoteser. Simulationseksperimenter (Note på hjemmesiden)  Ideen med at lave simulationseksperimenter  Opbygning af en simulationsalgoritme  Eksempel: Den forventede startløn for en økonom Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4):  Normalitetsantagelse (MLR.6).  Test af en enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel. Asymptotiske resultater for OLS: (kap. 5). Test af flere lineære restriktioner (kap. 4.5 og 5.2). Efficiens (kap 5.3 og B&L 9.12)

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 4 Hvorfor simulationseksperimenter? Ideen med at introducere simulationseksperimenter i Kvantitative metoder 1 og 2 er at kunne illustrere vigtige statistiske begreber Simulationseksperimenter er ikke dækket af Wooldridge, så derfor benyttes en note (se hjemmesiden) Konkret kan vi vise at OLS estimatoren har en fordeling Simulationseksperimenter vil også optræde til øvelserne

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 5 Monte Carlo eksperimenter: Ideen Simulationer af ”datasæt” fra en fuldt specificeret model: Datagenererende proces (DGP) Eksempel: Vi kender de "sande parametre" og. Genererer et sæt af fx n=100 observationer fra modellen: ”Glemmer” at vi kender og : Anvend estimator (”regneregel”) til at skønne over fx ud fra et konkret (men kunstigt) sæt af observationer: Fx gennemsnittet:

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 6 Monte Carlo eksperimenter: Ideen (fortsat) Kan vi på en nem måde vurdere, om er en ”rimelig” estimator for ? Lav ny uafhængig trækning af datasæt genereret af den samme DGP. Beregn værdien af estimatoren for hvert datasæt: Lav mange uafhængige trækninger (”replikationer”). Se på fordelingen af estimaterne over replikationerne: Beregn fx fordelingens gennemsnit og varians. Parallel til ”tankeeksperimentet”: Vores konkrete faktiske datasæt er blot ét blandt mange potentielle udfald.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 7 Monte Carlo eksperimenter: Ideen (fortsat) Formål med Monte Carlo eksperimenter:  Efterprøve analytiske resultater: Fx at OLS er middelret under MLR.1-4.  Sammenligne forskellige estimatorer eller test, hvor det er besværligt/umuligt analytisk.  Vurdere hvor mange observationer der skal til for at man kan bruge asymptotiske resultater i praksis (kap. 5).

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 8 Monte Carlo eksperimenter: Eksempel DJØFs hjemmeside ”Vejledende startløn” for en privatansat, nyuddannet økonom er kr om måneden. Antag:  Startlønninger er uafhængige og normalfordelte.  Sand middelværdi i lønfordelingen er kr  Sand lønfordeling har standardafvigelse på kr Hermed er lønfordelingen fuldt specificeret. Simulere en situation, hvor der indhentes en tilfældig stikprøve af n=100 startlønninger.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 9 Monte Carlo eksperimenter: I praksis Proc IML; antalobs = 100; mu = j(antalobs,1,29.5); seedvct = j(antalobs,1,1) ; seedvct = 117*seedvct ; e = normal(seedvct) ; y = mu * e ; quit;

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 10 Monte Carlo eksperimenter: I praksis (fortsat) m1est=sum(y)/antalobs; * estimatet m1 (gennemsnittet); m2est=1/2*(min(y)+max(y)); * estimatet m2 (gns. min og max);

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 11 Monte Carlo eksperimenter: I praksis (fortsat) Trin 3: Gentag trin 1 og 2: M= replikationer: antalrep = 10000; * antal replikationer i simulationen; m1 = j(antalrep,1,.); * vektorer til at gemme estimaterne i; m2 = j(antalrep,1,.); do j=1 to antalrep; * løkke over simulationer;.. end; Trin 4: Analysér fordelingerne af de to sæt estimater: Histogram Gennemsnit, varians, højere momenter

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 12 Monte Carlo eksperimenter: Eksempel Brug algoritmen til at analysere og som estimatorer for middelværdien i fordelingen af startlønninger. Simulere telefoninterviews med tilfældigt udvalgte, nyuddannede økonomer, som oplyser (?) deres startløn. SAS-programmet MC.sas udfører M= replikationer. Se på n=100, n=50 og n=10. Link til SAS

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 13 Monte Carlo eksperimenter: Eksempel (fortsat) Middelværdi og varians af de to estimatorer baseret på M= simulationer har lavest varians Varians aftager med n n=100 Middelværdi29,49929,502 Varians0,02230,2089 n=50 Middelværdi29,499 Varians0,04430,2445 n=10 Middelværdi29,49829,489 Varians0,22090,4116

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 14 Monte Carlo eksperimenter: Afrunding Husk:  Resultater og konklusioner fra Monte Carlo eksperimenter afhænger potentielt af de valgte parametre og fordelinger.  I praktiske anvendelser må man i hvert enkelt tilfælde godtgøre, at den valgte model har relevans for den problemstilling, man ønsker at belyse.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 15 Hypotesetest i den lineære regressionsmodel: Endelige stikprøver (kap. 4) For hypotesetest behøver vi fordelingen af. Introducere yderligere antagelse: Normalitet. MLR.6: u er uafhængig af og normalfordelt med middelværdi nul og varians. Definerer den klassiske lineære model (CLM). Restriktiv antagelse:  Argument for: u opsamler alle de mange effekter der er udeladt af modellen: Central grænseværdisætning køres i stilling.  Argumenter imod i konkrete problemstillinger: Begrænsede variabler (positive!), andre typer af fordelinger (log-normal, diskrete).

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 16 Fordeling af OLS estimatoren: Endelig stikprøve Linearitet af i u og CLM giver følgende resultat: Theorem 4.1: Under CLM antagelserne og betinget på gælder at hvor Heraf følger:

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 17 Fordeling af OLS estimatoren: Endelig stikprøve (fortsat) Theorem 4.1 indeholder den ukendte parameter, derfor ikke umiddelbart operationel. Erstattes af kan man vise at der gælder følgende resultat: Theorem 4.2: Under CLM antagelserne og betinget på gælder at hvor k+1 er antal regressorer i modellen inkl. konstantled. t-fordelingen går mod N(0,1) når antallet af frihedsgrader vokser. Fin approximation hvis større end 120.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 18 Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient Betragt en nulhypotese om en regressionskoefficient:, hvor a er en konstant. Under nulhypotesen påstår vi altså en bestemt værdi af en parameter i den sande model. Analogt til at specificere en parameter i DGP’en for et Monte Carlo eksperiment. Tænk på nulhypotesen som DGP’en for et tankeeksperiment: Givet denne værdi af kender vi fordelingen af. Bruge afvigelsen mellem estimatet, og den postulerede værdi, a, til at vurdere gyldigheden af nulhypotesen.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 19 Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient t-testet for er givet ved og er fordelt som under nulhypotesen. Alternativhypotesen:  Ensidede alternativer: eller  Tosidet alternativ: Ex. Afkast af uddannelse: Hypotese om  Nulhypotese:  Relevant alternativ:

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 20 Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient Klassisk teststrategi:  Vælg signifikansniveau: Sandsynlighed for at afvise nulhypotesen, givet at den er sand. Typisk vælges 5 %.  Vælg alternativhypotese: Bestemmer den kritiske region, givet signifikansniveauet.  Beregn teststatistik. Afvis nulhypotesen hvis testet er i den kritiske region. Afvis ellers ikke. Alternativ: Beregn p-værdi: Marginale signifikansniveau som ville betyde at nulhypotesen netop ville blive afvist.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 21 Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient Typiske eksempler:  a=0: Standard signifikanstest.  a=1 eller a=-1: Test af homogenitet eller proportionalitet. Konfidensinterval: Givet signifikansniveau,, fx 5 %. Så er 100- % konfidensintervallet givet ved: Konstrueres intervallet således vil det i 100- % af udfaldene rumme den sande værdi. Nulhypoteser om værdier udenfor vil således blive afvist. Skitsér på tavlen.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 22 Hypotesetest: Eksempel: Lønrelationen Afhængig variabel: log(timeløn) Kilde: Output fra SAS-programmet lon_udd2.sas RegressorModel (1)Model (2) uddaar0,0452 (0,0035) 0,0485 (0,0032) erfaring_0,0139 (0,0010) konstant4,3500 (0,0420) 4,1051 (0,0424) Antal observationer1046 0,1400,275

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 23 Generel lineær restriktion Nulhypotese på linearkombination af koefficienter: Involverer flere koefficienter, men stadig kun en restriktion (et lighedstegn). Ex. Produktionsfunktion af Cobb-Douglas typen med arbejdskraft (L), kapital (K) og uobserverbare faktorer (U): I log-transformerede størrelser: Test antagelse om konstant skalaafkast:

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 24 Generel lineær restriktion (fortsat) Hypotesen er af formen: ”Linearkombination af koefficienterne er lig med konstant”. Estimere, men hvad med ? Omparameterisere modellen: OLS af I reparameterisering er hypotesen direkte en restriktion på koefficienten til : Kald den fx Test restriktionen vha. t-stat. på Hvis CLM opfyldt så eksakt t-fordelt.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel 25 Næste gang Aflevering af obligatorisk opgave Test af flere restriktioner W. kap. 4.5 Asymptotiske resultater W. kap og B&L kap 9.12  Konsistens  Efficiens