Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel1 Økonometri 1 Den multiple regressionsmodel 24. februar 2003

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 2 Dagens program Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap ) Opsamling fra sidst – Udeladte variable Variansen på OLS estimatoren Multikollinaritet Variansen i misspecificerede modeller Estimat af variansen på fejlleddet Gauss-Markov teoremet

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 3 Opsamling fra sidst –Udeladte variable Udeladte (relevante) variable giver normalt biased estimater I en model med to forklarende variable kan formlen for bias let udledes I modeller med mere end to forklarende variable er det tit svært at vurdere retningen af biasen

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 4 Variansen af OLS estimatoren Antagelse MLR 5 (homoskedasticitet): Hvis antagelsen ikke er opfyldt, siges at fejlleddet er heteroskedastisk Antagelsen er ikke opfyldt hvis variansen f.eks. er givet ved

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 5 Variansen på OLS estimatoren (fortsat) Antagelsen MLR 5 kan også formuleres ved brug af matricer (se appendix E.2): hvor I er en nxn identitetsmatrix hvor X er en nx(k+1) matrix, som indeholder de forklarende variable

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 6 Variansen på OLS estimatoren (fortsat) Antagelserne MLR 1-MLR 5 kaldes Gauss-Markov antagelserne Teorem 3.2 Under antagelserne MLR 1-MLR 5 er variansen af OLS estimatoren givet ved X er en nx(k+1) matrix Parameteren  er en (k+1)x1 matrix (vektor)

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 7 Variansen af OLS estimatoren (fortsat) Bevis (se appendix E.2) (tavlegennemgang)

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 8 Variansen af OLS estimatoren (fortsat) Matrixformen for variansen er som regel lettest at arbejde med Til at fortolke variansen kan det være lettere at benytte følgende opskrivning af variansen hvor og R j 2 stammer fra regressionen af x j på de øvrige forklarende variable Bevis for ovenstående opskrivning af variansen se appendix i kap. 3

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 9 Variansen.. (fortsat) De tre komponenter i variansen Variansen af fejlleddet:  Jo større varians på fejlleddet jo større varians på alle estimaterne Variationen i x j  Jo større variation i x j jo mindre varians på estimatet β j Variation R 2 j  Jo tættere R 2 j er på 0 jo mindre er variansen på estimatet β j  Mindst varians opnås ved R 2 j =0 hvilket svarer til at x j er ukorreleret med de øvrige forklarende variable  Jo tættere R 2 j er på 1 jo større er variansen på estimatet β j  Hvis antagelsen MLR 4 er opfyldt er R 2 j altid forskellig fra 1

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 10 Multikollinaritet Multikollinaritet optræder, når R j 2 er tæt på 1 Følgerne af multikollinaritet:  Variansen på estimatet β j vil være stor (se figur 3.1) Hvornår optræder multikollinarietet:  Når nogle af de forklarende variable er højt korreleret  Når der er få observationer

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 11 Multikollinariet (fortsat) Er det et problem, at der er multikollinaritet?  Det afhænger af hvor stor variansen på estimaterne bliver  Det afhænger af hvad analysen skal bruges til  Høj korrelation mellem nogle af de forklarende variable betyder ikke så meget, hvis det ikke er estimaterne til disse parametre, man primært er interesseret i Hvad stiller man op med multikollinaritet  Indsaml mere data  Drop en eller flere variable fra modellen. Dette er dog langt fra altid en god ide (problemer med udeladte variable)

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 12 Variansen i misspecificerede modeller Variansen i misspecificerede modeller illustreres ved et eksempel Antag følgende model opfylder Gauss-Markov antagelserne: Vi har to estimator af β 1:  OLS estimatet fra MLR:  OLS estimatet fra SLR: Variansen:

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 13 Variansen i misspecificerede modeller (fortsat) Den betingede varians af er altid mindre end (eller lig med) variansen af Hvis x 1 og x 2 er ukorreleret er variansen den samme og begge estimater middelrette Hvis β 2 =0 er begge estimater middelrette og har mindst varians. Altså foretrækkes Hvis β 2 ╪0 er middelret mens er biased. Variansen af er mindst. Det er ikke oplagt hvilken estimator som foretrækkes.

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 14 Estimatet på variansen af fejlleddet Estimatet på fejlleddet udregnes stort set som i den simple regressionsmodel Ud fra OLS estimaterne kan residualerne beregnes: Estimatet beregnes til: Nævneren er bestemt til at være antallet af frihedsgrader  (antal obs.) – (antal estimerede parametre)

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 15 Estimatet af variansen på fejlleddet (fortsat) Teorem 3.3  Hvis Gauss-Markov antagelserne (MLR 1- MLR 5) er opfyldt, er estimatet på variansen af fejlleddet middelret:

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 16 Gauss-Markov teoremet Hvis Gauss-Markov antagelserne er opfyldt, kan man vise, at OLS estimatoren er den estimator, som har den mindste varians blandt lineære middelrette estimatorer Hvorfor er det at vigtigt at bruge en estimator med mindst mulig varians? OLS kaldes også BLUE for  Best – (mindst varians)  Linear  Unbiased  Estimator

Økonometri 1: Den multiple regressionsmodel 17 Gauss-Markov teoremet Teorem 3.4 Under Gauss-Markov antagelserne (MLR 1- MLR 5) gælder der, at OLS estimaterne for β 0, β 1,β 2,…,β k er BLUE Bevis (se appendix E.2) (tavlegennemgang)