Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 14. september 2004

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Dagens program Denne forelæsning drejer sig stadig om den simple regressionsmodel (Wooldridge kap ) Enheder på variablene Funktionel form Hvornår er OLS middelret? Variansen på OLS estimatoren Regressionsmodellen på matrix form  Udledning af OLS

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Enheden på variablene Hvad sker der, hvis man skifter enhed på den afhængige variabel? Hvad sker der med estimaterne, hvis timelønnen omregnes til 2000 kr. (dvs. )? Hvad sker der med R 2 ?

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Enhed på variablene Hvad sker der, hvis den forklarende variabel skifter enhed? Hvad sker der med estimaterne, hvis uddannelse opgøres i antal måneder i stedet for år? Hvad sker der med R 2 ?

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Funktionel form Det er ikke altid, at det er rimeligt at antage en lineær relation mellem variablene Det er nemt at ændre regressionsmodellen til også at kunne behandle ikke-lineære relationer (så længe modellen stadig er lineær i parametrene)

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Funktionel form (fortsat) Man skal dog være opmærksom på, at fortolkningen af parametrene ændrer sig! I eksemplet med timelønnen benytter man ofte følgende model ”Fortolkningen” af parametrene  1 er det procentvise afkast af et års mere uddannelse

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Funktionel form (fortsat) ModelAfhængig variabel Forklarende variabel Hæld- ning Elasti- citet Lineæryx 11  1 x/y Log-linLog(y)x 1y1y 1x1x Lin-logyLog(x)  1 /x  1 /y Log-lineærLog(y)  1 y/x 11

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Funktionel form

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Funktionel form (fortsat) Definitionen på den lineære regressionsmodel er at modellen er lineær i parametrene..ikke nødvendigvis i variablene Er følgende modeller lineære regressionsmodeller:

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Hvornår er OLS middelret? Definition (se appendix C.2 side )  En estimator b af β er middelret (unbiased) hvis for alle værdier af β Middelret er en statistisk egenskab ved estimatoren Hvorfor er det en vigtig egenskab at estimatet er middelret?

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Middelret.. (fortsat) Antagelser  SLR 1 (lineær i parametrene): Den afhængige variabel y kan beskrives ved følgende model  SLR 2 (tilfældig stikprøve): Vi har en tilfældig stikprøve (y i,x i ) i=1,..,n fra populationen Observationerne (y i ) er uafhængige og identisk fordelte (se definition i appendix c.1)  SLR 3 (betinget middelværdi af fejlled):

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Middelret.. (fortsat)  SLR 4 (variation i x): I data må ikke alle x’erne være lig den samme værdi. Teorem 2.1 (OLS er middelret) Under betingelserne SLR 1-SLR 4 er OLS estimatorerne middelrette:

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Middelret.. (fortsat) Bevis for teorem 2.1 (tavlegennemgang)

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Variansen af OLS estimatoren Estimatoren er centreret omkring den ”sande” værdi under givne antagelser Det betyder ikke, at estimatet vil være lig den ”sande” værdi (kun at middelværdien er lig den sande værdi)..Men hvor langt fra den sande værdi kan vi forvente at estimatet ligger? For at kunne besvare dette spørgsmål udregnes variansen på estimaterne

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Variansen (fortsat) Antagelse: SLR 5 (Homeskedasticitet): Variansen af u er konstant Denne antagelse er ikke nødvendig for resultatet om middelrette estimatorer SLR 5 gør beregninger af variansen lettere, men man kan godt udregne variansen uden antagelse SLR 5 (vi vender tilbage til dette i kap. 8).

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Variansen.. (fortsat) Man kan vise at σ 2 også er den ubetingede varians af u Hvornår er antagelse SLR 5 ikke opfyldt:  Hvis variansen afhænger af den forklarende variabel (se figur 2.9) Teorem 2.2 (variansen af OLS estimatorerne)  Under antagelse SLR 1-SLR5

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Variansen (fortsat) Bevis for teorem 2.2 (tavlegennemgang)

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Estimation af variansen på fejlleddet Variansen på OLS estimaterne afhænger af variansen på fejlleddet Variansen på fejlleddet er ukendt men kan estimeres vha. residualerne:

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Estimation af variansen (fortsat) Teorem 2.3 (middelret estimat af variansen på fejlleddet) Under antagelserne SLR 1-SLR 5 gælder Bevis (tavlegennemgang)

Økonometri 1: Den simple regressionsmodel Resten af kapitel 2 Læs selv kapitel 2.6 Simpel regressionsmodel på matrixform (tavlegennemgang)