Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel1 Økonometri 1 Inferens i den multiple regressionsmodel 10. marts 2003

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 2 Inferens i den multiple regressionsmodel: Oversigt Redskab: Monte Carlo eksperimenter. Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4): Normalitetsantagelse eksakte t- og F-test. Asymptotiske resultater for OLS: (kap. 5). Sidste gang: Konsistens under MLR.1-4. I dag: Flere asymptotiske resultater:  asymptotisk normalfordelt under MLR.1-5: : Kap t- og F-test begrundes approximativt i endeligt datasæt uden at antage normalfordelte fejlled. Andre typer af test: Lagrange multiplikator testet  Asymptotisk efficiens af OLS: Kap. 5.3.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 3 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt Konsistens af OLS i store datasæt under MLR.1-4: Minimumskrav opfyldt. Inferens: Vi behøver mere end det. Antager nu:  MLR.5: Homoskedasticitet:  Men ikke MLR.6: Normalitet af u i Normalfordelte fejlled er alt for stærk antagelse i en række realistiske problemstillinger:  Diskrete fordelinger: Heltallige udfald, fx antal medlemmer af en bestyrelse.  Skæve fordelinger: Asymmetriske aktieafkast (leverage).  Fordelinger med ”tunge” haler: Aktieafkast (outliers).

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 4 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt Teorem 5.2: Asymptotisk normalfordeling af OLS estimatoren Antag: Gauss-Markov antagelserne MLR.1-5.   Bevis: Tavlegennemgang (Appendix 5A).

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 5 Asymptotisk normalfordeling for OLS: I praksis Standardiserede OLS estimater er asymptotisk standardnormalfordelt: Hvad er ”asymptotisk”?  Afhænger bl.a. af, hvor meget u’s fordeling afviger fra normalfordelingen: Ikke hårde regler.  N(0,1) >< t n-k-1 : Ikke vigtigt (for rimeligt store n og moderate værdier af k).

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 6 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Monte Carlo experiment Lad os designe et lille eksperiment, hvor MLR.1-5 er overholdt (faktisk er u uafhængige af x her): Lineær model, ingen eksakt multikollinearitet, u har middelværdi nul og konstant varians. Men u trækkes fra en uniform (eller lige) fordeling:  Kontinuert fordeling fx på intervallet [-1,1].  Konstant tæthed f(u)=0.5 over intervallet.  Udfaldsrummet begrænset >< normalfordeling. Resultat af eksperimentet for forskellige n: SAS

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 7 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Standardfejl OLS standardfejlen: Asymptotik: Komponenter i formlen: Betyder at går mod nul som 1/n, standardfejlen går mod nul som

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 8 Alternativt test i store datasæt: LM testet Lagrange multiplikator testet eller score testet. Generelt format:  Estimation af modellen under H 0  Residualer fra restrikteret model,  Hjælperegression (“auxiliary regression”) af  På hvad: afhænger af den specifikke hypotese. Kræver ikke estimation af den generelle (dvs.urestrikterede model): Oftest den i praksis sværeste.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 9 LM testet: Udelukkelsesrestriktioner Specifikt eksempel: Udelukkelsesrestriktion Restrikteret model: Under H 0 vil være ukorreleret med de udeladte variabler:

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 10 LM testet: Hjælperegressionen Regression af på ekskluderede og inkluderede variabler: og Registrer R 2 fra hjælperegressionen: Ikke andet. Beregn teststørrelsen LM-teststørrelsen vil almindeligvis (og uanset om der antages normalfordelte fejlled eller ej) være fordelt som hvor q er antallet af restriktioner. Eksempel: Sammenligning af t-, F- og LM-test af samme hypotese: Engelkurven rev.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 11 LM testet: I praksis Regression af y på det restrikterede sæt af regressorer. Gem residualerne, Regression af på alle forklarende variabler. Gem R 2 Beregn LM=n R 2 Sammenlign beregnede testværdi med relevant fraktil i fordelingen. Eller beregn p-værdien for testet. Afvis H 0 hvis testet falder i den kritiske region.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 12 Asymptotisk efficiens af OLS estimatoren Under Gauss-Markov antagelserne er OLS asymptotisk efficient. Teorem 5.3: Under Gauss-Markov antagelserne har OLS den mindste asymptotiske varians blandt estimatorer, der løser ligningen Simpel regression: Tavlegennemgang.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 13 Inferens i den multiple regressionsmodel: Opsamling Resultater om OLS med endeligt antal observationer: Normalitetsantagelse eksakte t- og F-test. Asymptotiske resultater for OLS:  Konsistens under MLR.1-4.  Asymptotisk normalfordelt under MLR.1-5: t- og F-test begrundes approximativt i endeligt datasæt uden at antage normalfordelte fejlled. Andre typer af test: Lagrange multiplikator testet  Asymptotisk efficiens af OLS under MLR.1-5.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 14 Næste gang: Kap. 6: Skalering, funktionel form, interaktionseffekter, goodness-of-fit,… Husk:  Forelæsning på torsdag!  Spørgeskema 2 er åbent i et par timer endnu: Vi behøver præcise oplysninger om din indkomst og dine huslejeudgifter i januar måned. Og resultaterne af simulationseksperimentet på Ugeseddel 4 indsamles via skemaet.