KM2: F61 Kvantitative metoder 2 Den simple regressionsmodel 21. februar 2007

KM2: F62 Program for i dag: Regressionsmodel med en forklarende variabel (W.2.5-6) –Antagelser for den simple lineære regressionsmodel: SLR –Statistiske egenskaber: Middelret estimation Variansen på OLS estimatoren Estimator for variansen på OLS estimatoren –Regressionslinie gennem origo.

KM2: F63 Variansen af OLS estimatoren Teorem 2.1: Estimatoren er centreret omkring den ”sande” værdi under de givne antagelser. Det betyder ikke, at estimatet vil være lig den ”sande” værdi (kun at middelværdien er lig den sande værdi)....Men hvor langt fra den sande værdi kan vi forvente at estimatet ligger? For at besvare dette spørgsmål udregnes variansen på estimaterne.

KM2: F64 Variansen (fortsat) Simpelt variansudtryk kræver ekstra antagelse: SLR.5 (Homoskedasticitet): Variansen af u er konstant. Denne antagelse er ikke nødvendig for resultatet om middelret estimation. SLR.5 gør beregninger af variansen lettere, men man kan godt udregne variansen uden antagelse SLR.5 (vi vender tilbage til dette i kap. 8). SLR.1-SLR.5 kaldes under ét for Gauss-Markov antagelserne.

KM2: F65 Variansen (fortsat) Man kan vise at σ 2 også er den ubetingede varians af u. Antagelse SLR.5 er ikke opfyldt, hvis variansen afhænger af den forklarende variabel: Heteroskedasticitet (se figur 2.9): Kapitel 8. Teorem 2.2 (variansen af OLS estimatoren) –Under antagelse SLR.1-SLR.5 –Bevis for teorem 2.2 (tavlegennemgang)

KM2: F66 Estimation af variansen på fejlleddet Variansen på OLS estimaterne afhænger af den sande værdi af variansen på fejlleddet,. Variansen på fejlleddet er ukendt men kan estimeres vha. residualerne: Teorem 2.3 (middelret estimat af variansen på fejlleddet) Under antagelserne SLR.1-SLR.5 gælder Bevis: Læs kommentarer til beviset i noten på hjemmesiden.

KM2: F67 Standardfejl for OLS estimatorerne Den estimerede varians på fejlleddet,, kan substitueres i udtrykkene for variansen på OLS estimaterne. Resultatet kaldes standardfejlen. Den estimerede standardafvigelse på OLS estimatet for hældningen fås som: Standardfejlen er et mål for variabiliteten af estimatoren set over forskellige realisationer af data.

KM2: F68 Regression gennem origo I visse tilfælde kan man være interesseret i at specificere en regressionsmodel uden konstantled. Problemet har kun én ubekendt,, og løses af: Som den almindelige formel hvis. Hvis ikke, så vil være en biased estimator for

KM2: F69 NB’er fra denne forelæsning Antagelse om homoskedasticitet giver et simpelt udtryk for variansen af OLS estimatorerne (vi skal senere se en variansestimator, der virker uden denne antagelse). Standardfejlene på OLS estimaterne er et mål for variabiliteten af estimatoren som kan beregnes for det konkrete datasæt. Regression gennem origo er kun relevant i specielle tilfælde (hvor det gælder pr. konstruktion, at de forklarende variabler har middelværdi lig nul).

KM2: F610 Næste gang Mandag: Start på W.3 om den multiple lineære regressionsmodel: Flere forklarende variabler ”Hjemmeopgave”: Opstil den simple lineære regressionsmodel på matrixform (Ugeseddel 4).