Betinget sandsynlighed Bayes’ regel Diskrete stokastiske variable Statistik Lektion 2 Betinget sandsynlighed Bayes’ regel Diskrete stokastiske variable

Repetition Population Stikprøve ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Stikprøve: ∙ Population ∙ Populationsstørrelse N Populationsmiddelværdi μ Populationsvarians σ2 Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s2

Repetition Udfaldsrum S Hændelse A ⊆ S Simpel hændelse Oi Regler: 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) = Σ P(Oi) P(S) = 1 6 A ∩ B 1, 2 4, 5 A B S 3 Regler: P(∅) = 0 P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(A⋂B) P(A) = 1 - P(A)

Lov om Total Sandsynlighed Vha. B kan vi opdele A i to disjunkte dele. _ B B A

Eksempel – Lov om Totalsandsynlighed Kortspil – find sandsynligheden for at trække et billedkort, A: Det må være sandsynligheden for at trække en billedkort i Hjerter (H), Spar (S), Ruder (R) eller Klør (K): P(A)=P(A∩H) + P(A∩S) + P(A∩R) + P(A∩K) = 3/52 + 3/52 + 3/52 + 3/52 = 12/52 Hjerter Spar Ruder Klør A∩H A∩S A∩R A∩K A

Betinget sandsynlighed Den betingede sandsynlighed P(A|B) er sandsynligheden for hændelsen A, givet at vi ved at hændelsen B allerede er indtruffet: Ligeledes

Betinget sandsynlighed - intuition Antag alle udfald er lige sandsynlige, dvs. N = antal udfald i udfalds rum NA = antal udfald i hændelse A Hvad er sandsynligheden for A givet at B er indtruffet? ∙ S ∙ ∙ A ∙ ∙ B ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

Eksempel: Sennep og Ketchup A = ”Bruger sennep” B = ”Bruger ketchup” A⋂B = ”Bruger både sennep og ketchup” P(A) = 75% P(B) = 80% P(A⋂B) = 65% Hvad er sandsynligheden for at en ketchupbruger bruger sennep?

Simultan og Marginal Sandsynlighed Simultan sandsynlighed er sandsynligheden for at en eller flere hændelser indtræffer simultant, fx P(A∩B) Marginale sandsynligheder beregnes ved at summere over rækker og søjler A Marginaler B P(A∩B) P(B) = P(A ∩B) + P(A ∩B) P(B) P(A) = P(A ∩B) + P(A ∩B) P(A) 1.0

Simultan og Marginal Sandsynlighed A = ”Bruger sennep” B = ”Bruger ketchup” P(A) = 75% P(B) = 80% P(A⋂B) = 65% A Marginaler B P(A∩B) = 0.65 P(A∩B) = P(B) =0.80 P(B) = P(A) = 0.75 P(A) 1.0

Multiplikationsregel Betinget sandsynlighed Omskrives til multiplikationsreglen Eksempel: Konsulent på jagt efter job A og job B. Sandsynligheden for at få job A er P(A) = 0.45. Givet at han får job A er sandsynligheden for at få job B P(B|A) = 0.9. Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for at konsulent får både job A og job B? Svar:

Uafhængighed To hændelser A og B er statistisk uafhængige, hvis og kun hvis Konsekvenser: Hvis A og B er statistisk uafhængige hændelser Fortolkning af P(B|A) = P(B): Selvom vi ved at A er indtruffet, ændrer det ikke på sandsynligheden for B.

Eksempel: Check for uafhængighed A = ”Kandidat er kvinde” B = ”Kandidat i økonomi” Vides: P(A) = 48% P(B) = 17.5% P(A⋂B) = 6% Spørgsmål: Er hændelserne A og B statistisk uafhængige? Svar: Hvis stat. uafh, så skal der gælde Check: P(A)P(B) = 0.48*0.175 = 0.084 ≠ 0.06 = P(A⋂B) Dvs. A og B er ikke statistisk uafhængige.

Bayes’ Sætning Betinget sandsynlighed Multiplikationsregel Kombineres til Bayes’ Sætning: Bemærk: De betingede sandsynligheder er ”vendt”.

Bayes’ Udvidede Sætning Hvis E1, E2, …, EK er disjunkte og udtømmende hændelser i S, så gælder Bayes’ Sætning (Lov om total sandsynlighed + multiplikationsreglen)

Bayes’ sætning: Test for sjælden sygdom En test for en sjælden sygdom, der rammer 0,1% af befolkningen (P(I)=0,001), er upræcis. Lad i det følgende: Sandsynligheden for at testen er positiv når man er syg: Sandsynligheden for at testen er positiv, når man er rask: Hvad er så sandsynligheden for at man er syg, givet at testen var positiv?

Stokastisk Variabel: Et eksempel Betragt de forskellig mulige ordninger af drenge (B) og piger (G) i fire fødsler. Der er 2*2*2*2=24 = 16 muligheder og udfaldsrummet er: BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB GGGB BBGG BGGG GBGG GGGG Hvis pige og dreng er lige sandsynlige, [P(G) = P(B) = 1/2], og kønnet af hvert barn er uafhængig af kønnet på det foregående barn, så er sandsynligheden for hver af disse 16 muligheder: (1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16.

Eksempel - fortsat Tæl antallet af piger i hver af de fire fødsler: BBBB (0) BGBB (1) GBBB (1) GGBB (2) BBBG (1) BGBG (2) GBBG (2) GGBG (3) BBGB (1) BGGB (2) GBGB (2) GGGB (3) BBGG (2) BGGG (3) GBGG (3) GGGG (4) Bemærk at: hvert mulig udfald tildeles en enkelt værdi værdierne, der tildeles varierer over de forskellige udfald Antallet af piger er en stokastisk variabel: En stokastisk variabel , X, er en funktion, der tildeler en enkelt, men variabel værdi til hvert element i udfaldsrummet.

Eksempel - fortsat X 1 2 3 4 Punkter på den reelle linie Udfalds rum BBBB BGBB GBBB BBBG BBGB GGBB GBBG BGBG BGGB GBGB BBGG BGGG GBGG GGGB GGBG GGGG 1 2 3 4 X Udfalds rum Punkter på den reelle linie

Stokastisk variabel - formel definition En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S (udfaldsrummet), der antager værdier på R (reelle tal) I eksperimenter knyttes en talværdi til hvert udfald: Stokastiske variable kan enten være diskrete eller kontinuerte. Diskrete: Antager et endeligt antal værdier Kontinuerte: Antager værdier i en mængde af reelle tal X: S R X S oi R X(oi)

Eksempler på diskrete og kontinuerte variable Eksperiment Stokastisk variabel Type Kast med terning Antal øjne Diskret Kast med 2 terninger Sum af antal øjne Familie i Danmark Antal børn Indkomst Kontinuert Kvinder i Danmark Højde Baby Fødselsvægt Resten af denne forelæsning ser vi på diskrete stokastiske variable

Eksempel - fortsat Eksempel: Den stokastisk variabel X = 3 når de følgende fire hændelser BGGG, GBGG, GGBG, eller GGGB forekommer, P(X = 3) = P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB) = 4/16 Sandsynligheds fordelingen af en stokastisk variabel er en tabel, der opskriver alle de mulige værdier af en stokastisk variabel og deres tilknyttede sandsynligheder. x P(X=x) For eksemplet: 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 16/16=1

Sandsynlighedsfordeling for antal piger i fire fødsler Eksempel - fortsat Sandsynlighedsfordeling for antal piger i fire fødsler Sandsynlighed, P(x) Antal piger, X

Sandsynligheds fordeling Definition: Lad X:S→R være en diskret stokastisk variabel. P(X=x) = P(x) er en sandsynligheds-fordeling (-funktion) for X, hvis: Notation: Store bogstaver (fx X) betegner stokastisk variable. Små bogstaver (fx x) betegner konkrete værdier af X.

Kumulativ fordelingsfunktion Den kumulative fordelingsfunktion, F(x), for en diskret stokastisk variabel X er: Kumulative fordelingsfunktions for antallet af piger ved 4 fødsler: x P(x) F(x) 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16 16/16 1.00 1 . . 9 . 8 . 7 x ) . 6 ( F . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 1 2 3 4 x

Eksempel - fortsat x P(x) F(x) 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16 16/16 1.00

Middelværdi Middelværdien af en diskret stokastisk variabel X er givet ved: Dvs. summen af værdien gange sandsynligheden for værdien – et vægtet gennemsnit. Bemærk! Middelværdien for en stokastisk variabel kaldes også den forventede værdi.

Middelværdi - Eksempel x P(x) xP(x) 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 16/16=1 Eksempel: X er antal øjne ved terningkast. Dvs. P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) =1/6. Den forventede værdi er:

Varians Variansen for en diskret stokastisk variabel er givet ved: Standard afvigelsen er kvadratroden af variansen:

Varians: Eksempel x x2 P(x) x2P(x) xP(x) 0 0 1/16 0 0 0 0 1/16 0 0 1 1 4/16 4/16 4/16 2 4 6/16 24/16 12/16 3 9 4/16 36/16 12/16 4 16 1/16 16/16 4/16 1 80/16 32/16

Regneregler for middelværdi og varians Hvis X er en diskret stokastisk variabel, da er middelværdien for en funktion h(X) givet ved Regneregler for en lineær funktion af X :

Eksempel Håndboldspiller er på resultatkontrakt, hvor han får 1500kr i bonus pr mål. Lad X være den stokastiske variabel, der svarer til antal mål scoret i èn kamp. Det vides at E[X] = 4.6 V[X] = 5.2 Hvad er den forventede bonus pr kamp? Variansen? Bonus pr kamp: B = 1500 X E[B] = V[B] =

Simultan Sandsynlighedsfordeling Hvis X og Y er to stokastiske variable, så er P(X=x,Y=y) = P(x,y) en simultan sandsynlighedsfunktion for X og Y, hvis Den Marginal sandsynlighedsfordeling er (joint probability function)

Eksempel: Alder og Salg Sammenhæng mellem aldersgruppe (X) og købsmønster (Y): Aldergruppe (X) Købs-mønster (Y) 1 (16 til 25) 2 (26 til 45) 3 (46 til 65) P(y) 1 (køb) 0.10 0.20 0.40 2 (ej køb) 0.25 0.60 P(x) 0.35 0.45 1.00

Betinget Sandsynligheder for SV For to diskrete stokastiske variable er den betingede sandsynligheden for X=x givet Y=y givet ved Eksempel: Betingede sandsynlighed for køb (Eksempel: Betingede sandsynlighed for køb (Y=1) givet kund i aldergruppen 26 til 45 (X = 2). Svar: P(X=2,Y=1) = P(2,1) = 0.20 og P(X=2) = 0.45

Uafhængighed To diskrete stokastiske variable X og Y er uafhængige hvis og kun hvis for alle x og y, hvor P(x) og P(y) er de marginale sandsynligheds-funktioner. Eksempel: Er aldersgruppe og købsmønster uafhængige? Svar: Dvs. der er ikke uafhængighed.

Kovarians X stokastisk variabel med forventet værdi μX Y stokastisk variabel med forventet værdi μY Kovariansen mellem X og Y er givet ved Hvis X og Y har diskrete stokastiske variable med simultan sandsynligheds funktion P(x,y), så er kovariansen givet ved

Middelværdi og Varians for Par af Stokastiske Variable Lad X være SV med forventet værdi mx og varians s2X Lad Y være SV med forventet værdi mY og varians s2Y Da gælder Eksempler: E[X+Y] = V[X+Y] = E[X-Y] = V[X-Y] =

Regneregler for middelværdi og varians Middelværdien af en linearkombination af stokastiske variable X1,X2,…,Xk. Hvis X1,X2,…,Xk er indbyrdes uafhængige, så: