Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 3. marts 2006

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 2 Dagens program Test af flere lineære restriktioner (kap og 5.2).  Eksakt F-test (4.5)  Mange observationer (5.2): Approximativt F-test Lagrange Multiplikator (LM) test Eksempel Præsentation af estimationsresultater Mere om funktionel form Goodness of fit

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 3 Flere lineære restriktioner Et fælles test af flere lineære restriktioner: F-testet. Model med tre forklarende variabler:  Ex. på nulhypoteser  Generelt format:  q lineære restriktioner på koefficienterne i den lineære model.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 4 Flere lineære restriktioner (fortsat) Alternativhypotesen: Afvis nulhypotese blot én af q restriktioner ikke holder. Restrikteret (r) vs. urestrikteret model (ur):  Ex.: Restrikterede modeller: Lineære restriktioner: Restrikteret model er lineær i parametrene: Estimeres ved OLS.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 5 Flere lineære restriktioner (fortsat) Test af flere lineære restriktioner: F-testet. Tæller altid større end eller lig nul: Restrikteret model kan ikke tilpasse data bedre end urestrikteret model. Antal frihedsgrader i tæller: Antal restriktioner, q Antal frihedsgrader i nævner: n- antal regressorer i urestrikteret model. Helt generelt format for F-testet.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 6 Flere lineære restriktioner: Eksakt inferens Under CLM antagelser følger F-testet en eksakt F-fordeling: Fordeling findes i Tabel G.3. For en restriktion og to-sidet alternativ: Ækvivalent med t-test: Men F-test af fælles hypotese på flere koefficienter kan godt give andet resultat end individuelle t-test.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 7 Alternativt test i store datasæt: Appr. F-test For mange observationer ”The asymptotic normality of the OLS estimators also implies that the F-statistics have approximate F-distributions in large sample sizes” Wooldridge (side 185, øverst) I praksis for store datasæt (når antagelserne MLR1-MLR5 er opfyldt) kan F-testene udføres på samme måde som når vi har eksakt inferens.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 8 Alternativt test i store datasæt: LM testet Lagrange multiplikator testet eller score testet. Generelt format:  Estimation af modellen under H 0  Residualer fra restrikteret model,  Hjælperegression (“auxiliary regression”) af  På hvad: afhænger af den specifikke hypotese. Kræver ikke estimation af den generelle (dvs.urestrikterede model): Oftest den i praksis sværeste. LM testet kan anvendes når Gauss-Markov antagelserne (MLR1-MLR5) er opfyldt.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 9 LM testet: Udelukkelsesrestriktioner Specifikt eksempel: Udelukkelsesrestriktion Restrikteret model: Under H 0 vil være ukorreleret med de udeladte variabler:

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 10 LM testet: Hjælperegressionen Regression af på ekskluderede og inkluderede variabler: og Registrer R 2 fra hjælperegressionen: Ikke andet. Beregn teststørrelsen LM-teststørrelsen vil almindeligvis (og uanset om der antages normalfordelte fejlled eller ej) være asymptotisk fordelt som, hvor q er antallet af restriktioner.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 11 LM testet: I praksis Regression af y på det restrikterede sæt af regressorer. Gem residualerne, Regression af på alle forklarende variabler. Gem R 2 Beregn LM=n R 2 Sammenlign beregnede testværdi med relevant fraktil i fordelingen. Eller beregn p-værdien for testet. Afvis H 0 hvis testet falder i den kritiske region.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 12 Inferens i den multiple regressionsmodel: Opsamling Resultater om OLS med endeligt antal observationer: Normalitetsantagelse eksakte t- og F-test. Asymptotiske resultater for OLS:  Konsistens under MLR.1-4.  Asymptotisk normalfordelt under MLR.1-5: t- og F-test begrundes approximativt i endeligt datasæt uden at antage normalfordelte fejlled. Andre typer af test: Lagrange multiplikator testet  Asymptotisk efficiens af OLS under MLR.1-5.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 13 Præsentation af estimationsresultater Det er vigtigt at kunne præsentere sine estimationsresultater på en ordentlig måde  Generelt i empiriske analyser  Konkret i kurset: Eksamensopgaven Øvelserne Læs selv afsnit 4.6

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 14 Funktionel form MLR forudsætter, at modellen er lineær i parametrene. Men ikke i variablerne. Funktionel form: Fortolkningsmæssige konsekvenser! Tre vigtige tilfælde:  Log-transformation  Kvadratiske led  Interaktionsled Brugen af log-transformation: Absolutte ændringer i log- transformeret variabel svarer til relative ændringer i den originale variabel.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 15 Funktionel form: Log-transformation Økonomisk teori ofte udtrykt i afkast-størrelser (% pr. år):  BNP vækstrate: Relativ tilvækst i realt BNP fluktuerer nogenlunde konstant omkring et niveau på ca. 2 % pr. år over længere perioder: Tidsrækkemodeller  Egenkapitalforrentning (”return on equity”, Ex. 2.3, 2.6, 2.8): Store virksomheder har (gennemgående) store overskud (målt i kr.), små virksomheder har (gennemgående) små overskud. Mere relevant: Overskud i forhold til størrelsen af den indskudte kapital, en relativ størrelse. Variansen på en størrelse kan afhænge af niveauet: Relativ varians er mere stabil (RoE ex).

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 16 Funktionel form: Log-transformation (fortsat) ModelAfhængig variabel Forklarende variabel Hæld- ning Elasti- citet Lineæryx 11  1 x/y Log-linLog(y)x 1y1y 1x1x Lin-logyLog(x)  1 /x  1 /y Log-lineærLog(y)Log(x)  1 y/x 11

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 17 Funktionel form: Kvadratiske led Aftagende eller stigende marginaludbytte/-effekt: Fx kvadratisk Engelkurve: Andelen til mad aftagende, men ”flader ud”. Multipel regressionsmodel: Men ”alt andet lige” betragtning med omtanke. Effekt af ændring af afhænger af udgangsværdien af Evalueres ved ”relevant” værdi, fx. Extrapolation…!

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 18 Funktionel form: Interaktionsled Marginal effekt af at ændre værdien af en forklarende variabel,, afhænger af værdien af fx : Fx kan afkastet af erfaring variere med uddannelse: Igen: Multipel regressionsmodel: Men ”alt andet lige” betragtning med omtanke. Evalueringspunktet vælges med omhu.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 19 Goodness-of-fit er et mål for modellens forklaringsgrad. Øges når der tilføjes variabler til modellen (med mindre de er perfekt kollineære med eksisterende regressorer). Uegnet til modelvalg. Høj er ikke nødvendig for en brugbar model. Korrigeret, betegnet, ”straffer” for at selvom større modeller tilpasser data bedre, sker dette ved hjælp af flere forklarende variabler. Tæller og nævner korrigeres for frihedsgrader ><

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 20 Goodness-of-fit (fortsat) Hvis en variabel tilføjes til modellen vil øges hvis og kun hvis variablen har en t-værdi, der (numerisk) overstiger 1. Svarer til at lave et to-sidet signifikanstest med et signifikansniveau over 30 %! bruges i nogle tilfælde til at sammenligne ”ikke- nestede” modeller, hvor den ene model er ikke et specialtilfælde af den anden. Men begrænsninger: Samme venstre-side variabel (samme funktionel form).

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 21 Goodness-of-fit (fortsat) Hvor mange variabler skal med i modellen?  Overvej hvilke variabler der fortolkningsmæssigt giver mening.  Ofte flere praktiske mål for samme teoretiske størrelse: Problematisk at inkludere flere mål og så lave ”alt-andet-lige” betragtning.  Høj korrelation mellem forklarende variabler giver multikollinearitetsproblem: Svært at skelne effekterne af de enkelte variabler fra hinanden.  Har man mulighed for at tilføje variabler, der er ukorrelerede med de allerede inkluderede, vil det entydigt nedbringe residualvariansen og give mere præcise estimater.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 22 Prediktioner (forudsigelser) Punktprediktion fra MLR: Tilpassede værdi: MLR.3: For givne værdier af et estimat af: er en estimator af den sande (men ukendte) middelværdi. For givne værdier af har prediktionen en standardfejl, der er afledt af standardfejlene på OLS estimaterne.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 23 Prediktioner (forudsigelser) Udregning af standardfejl på prediktionen:  Metoden beskrevet i Wooldrigde (side 214)  Vha. covariansmatricen (prediktionen er en lineære kombination af parametreestimaterne Kan vises at standardfejlen på prediktionen er mindst når sættes lig deres gennemsnit.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 24 Prediktioner (forudsigelser) (fortsat) Ofte af interesse at konstruere et konfidensinterval for en tænkt enhed (husholdning, virksomhed, …) med nogle givne karakteristika: Må også tage højde for variansen af fejlleddet, Prediktionsfejlen er: OLS er middelret og så

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 25 Prediktioner (forudsigelser) (fortsat) Prediktionsfejlsvariansen: ukorreleret med så variansen splitter op i to komponenter: Vil ofte være domineret af leddet (især for store n) Prediktion af afledte variabler: Fx Y når vi modellerer y=log(Y). Husk at generelt med mindre f( ) er lineær. For log-transformation:

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 26 Næste gang: Onsdag d. 8/3 Flere emner i den lineære regressionsmodel:  Mere om lineære regressionsmodel (kap 6)  Læs selv kap Næste gang: kap 7