KM2: F191 Kvantitative metoder 2 Heteroskedasticitet 16. april 2007

KM2: F192 Dagens program: Heteroskedasticitet (Wooldridge kap. 8.4) Sidste gang: –Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS –White’s korrektion af OLS variansen –Test for heteroskedasticitet Grafiske test Formelle test: Breusch-Pagan test, White test I dag: –Eksempel: Cigaretforbrug (Ex. W.8.7) –Weighted Least squares (WLS) Efficient estimator, når der er heteroskedasticitet Vægtning af observationerne: Tilfældet med kendte vægte

KM2: F193 Eksempel: Model for efterspørgsel efter cigaretter (Ex. 8.7, SAS program på hjemmesiden) OLS estimater. Afhængig variabel: cigs. Est.Std.errRobust std. Err Const Lincome Lprice Educ Age Age Rest

KM2: F194 Eksempel: Model for efterspørgsel efter cigaretter

KM2: F195 Eksempel: Model for efterspørgsel efter cigaretter

KM2: F196 Konsekvenser af heteroskedasticitet Når der er heteroskedasticitet gælder (givet MLR.1-4) : –OLS estimaterne er middelrette og konsistente –Det sædvanlige estimat af OLS variansen er ikke middelret eller konsistent Gyldige test baseret på OLS estimatoren ved brug af robuste variansestimater Men: Uheldige konsekvenser af heteroskedasticitet, som ikke bliver afhjulpet ved robust estimation af variansen: –OLS er ikke længere den bedste lineære middelrette estimator (BLUE): Der findes andre lineære middelrette estimatorer med mindre varians –OLS er ikke længere asymptotisk efficient

KM2: F197 Hvorfor bliver OLS inefficient under heteroskedasticitet? Intuitivt: OLS giver samme vægt til alle observationer/- residualer (minimerer den simple sum af de kvadrerede residualer) Men: Ved heteroskedasticitet er fejlleddene til de forskellige observationer trukket fra fordelinger med forskellig varians. En efficient estimator tillægger hver observation/residual en vægt, der er omvendt proportional med variansen på fejlleddet for hver enhed.

KM2: F198 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Heteroskedasticitet af en kendt form (op til en multiplikativ faktor) antages at være en kendt funktion af de forklarende variable for alle mulige værdier af x’erne (varianser er altid positive) er en ukendt parameter Et specialtilfælde af den generelle form af heterosk.

KM2: F199 Eksempel: Opsparing- indkomst Model: I dette tilfælde er h(x) = h(inc) = inc –Variansen er proportional med indkomsten. –Variansen er positiv, hvis indkomsten er positiv for alle i. Standard afvigelsen på u (betinget på indkomsten) er Hvordan kan informationen om (##) bruges til at estimere en udgave af opsparings-indkomstrelationen, som er uden heteroskedasticitet?

KM2: F1910 Eksempel: Opsparing- indkomst Transformerer modellen: To forklarende variabler, intet konstantled. Samme parametre. Fejlled med konstant varians:

KM2: F1911 Weighted Least Squares Ved at bruge informationen om formen for heterosk. kan modellen altså transformeres til en ”ny” model, som ikke indeholder heteroskedasticitet: OLS på den vægtede regression er efficient: Weighted Least Squares (WLS) Generelt: Antag følgende multiple regressionsmodel (som opfylder antagelserne MLR.1- MLR.4) Givet at h er en kendt funktion kan dens værdi beregnes for hver enkelt observation:

KM2: F1912 Weighted Least Squares Hvis man transformerer modellen så fejlleddet bliver vil den betingede middelværdi stadig være nul: og den betingede varians vil være konstant:

KM2: F1913 Weighted Least Squares Den transformerede model er Bemærk at modellen generelt ikke længere indeholder noget konstantled De nye forklarende variabler har sjældent en meningsfuld fortolkning Parametrene er de samme som i den oprindelige model og skal fortolkes ud fra den. Men kan estimeres efficient fra den transformerede model.

KM2: F1914 Den transformerede model opfylder nu antagelsen MLR.5 (homoskedasticitet) ifølge (§§). Antagelsen MLR.1 er også opfyldt, da modellen er lineær i parametrene. Antagelsen MLR.2 er også stadig opfyldt (hvis stikprøven er udtaget tilfældigt til den oprindelige model, gælder det også for den transformerede model). Antagelsen MLR.3 er stadig opfyldt. Antagelsen MLR.4 er også stadig opfyldt. (§) (Mindre vigtigt: Hvis antagelsen MLR.6 er opfyldt for den oprindelige model, gælder antagelsen stadig) Weighted Least Squares

KM2: F1915 Weighted Least Squares (WLS) I den transformerede model gælder MLR.1-MLR.5 OLS estimatoren i den transformerede model vil være BLUE F- og t-test er gyldige for den transformerede model R 2 er sjældent meningsfuld (ny venstresidesvariabel!) Estimatoren som korrigerer for heteroskedasticitet kaldes for Weigted Least squares (WLS) Navnet hentyder til at estimaterne opnås ved at minimere de vægtede kvadrerede residualer.

KM2: F1916 Weighted Least Squares (WLS) WLS er et eksempel på Generalized Least Squares (GLS) Estimaterne vil generelt være forskellige fra OLS i den oprindelige model GLS estimatoren er mere efficient end OLS Parametrene skal stadig fortolkes som i den oprindelige model

KM2: F1917 Weighted Least Squares (WLS) Eksempel: Afhængige variabel er et gennemsnit (hvor de grupper af enheder der tages gennemsnit over, er af forskellig størrelse) I disse modeller er heterosk. ofte relateret til gruppens størrelse I dette tilfælde skal vægtningen være

KM2: F1918 NB’er En efficient estimator tillægger hver observation/residual en vægt, der er omvendt proportional med variansen på fejlleddet. Ved at bruge information om formen for heterosk. kan modellen transformeres til en ”ny” model, som ikke indeholder heteroskedasticitet. Den transformerede ligning kan estimeres efficient med OLS. Parametrene er de samme som i den oprindelige model og skal fortolkes ud fra den.

KM2: F1919 Næste gang: Onsdag: W ”WLS” når variansfunktionen er ukendt: FGLS Mere om cigareteksemplet Mere om den lineære sandsynlighedsmodel