Grundlæggende teoretisk statistik Kapitel D Stokastiske variable

Stokastiske variable Stokastisk variabel Knytter en talværdi til ethvert udfald i et tilfældigt eksperiment Sandsynligheder knyttes til værdierne af den stokastiske variable Diskrete vs. kontinuerte stokastiske variable Diskrete kan antage nogle bestemte værdier, f.eks. Antal fødte børn en given dag på en given barselsgang. Kontinuerte kan antage et uendeligt antal værdier, d.v.s. alle værdier evt. i et givet interval, f.eks. den tid som fødslerne ovenfor varede.

Diskrete stokastiske variable Sandsynligheder knyttes til værdierne af den stokastiske variable Punktsandsynligheder f(x) = P(X = x) 0 ≤ f(x) ≤ 1 for alle x Σ f(x) = 1 for alle x Fordelingsfunktion, F F (x0) = P( X ≤ x0) = Σ f(x) hvor x ≤ x0

Forventning og varians Begrebsapparat μ = Gennemsnit på X i populationen σ2 = Variansen i populationen σ = Standardafvigelsen i populationen = gennemsnit. - stikprøven s2 = Empirisk varians – (stikprøven) s = Empirisk standardafvigelse – (stikprøven) Forventet værdi: μx = E(X) = Σ x f(x) σ2 = VAR (X) = Σ (x – μ)2 f(x) Populations-parametre / Statistikker (stikprøven)

55 indkøb – grupperede data Den relative frekvens

Forventning og varians Regneregler for forventning og varians σ2 = VAR (X) = E(X2) – E2 (X) = E(X2) – μ2 E(a X) = a E(X) E(X + a) = E(X) + a E(X + Y) = E(X) + E(Y) = μx + μy E(X - Y) = E(X) - E(Y) = μx – μy VAR (a X) = a2 VAR (X) VAR (X + a) = VAR (X) VAR(X±Y) = VAR(X) + VAR(Y) hvis X og Y er uafhængige

Forventning – et eksempel Opgave: En privat pilot ønsker at forsikre sit fly til en værdi af 2 mio. kr. Forsikringsselskabet forventer tab med flg. sandsynligheder: total tab med sandsynlighed 0.002 50% tab med sandsynlighed 0.01 25% tab med sandsynlighed 0.1 1. Hvad er det forventede tab i kroner ? 2. Hvilken samlet præmie skal betales, hvis forsikringsselskabet ønsker et forventet profit på 3000 kr ?

Samvariation mellem variable Covarians og korrellation Populationens covarians: Stikprøvens covarians: Hvis X og Y samvarierer positivt er COV(X,Y)>0 Hvis X og Y samvarierer negativt er COV(X,Y)<0 Hvis X og Y er uafhængige er COV(X,Y) = 0

Covarians - fortolkning Covariansen mellem X og Y udtrykker, hvilken indflydelse X og Y har på hinanden, altså i hvilken grad de 2 variable samvarierer. Begge variable skal være målt på mindst intervalskala Eksempler: Covariansen mellem X = salg af cykler og Y = cykelpumper er positivt. X = købte charterrejser i maj og Y = solskinsdage i maj er negativt. X = Aktiekursen på GN Store Nord og Y = OMXC20-indexet Covarians er en absolut størrelse, der ikke kan fortolkes – se blot på enheden af covariansen!

Covarians - definition Definition og regneregler

Excel: Beregn covarians I vektor 1 og 2 angives x- og y-værdierne

Eksempel: Finanstilsynet - covariansmatricer

Finansministeriet: Beregning af varians- og covariansmatrix for valutakursændringer Til brug for finansielle virksomheders indberetning af valutaindikator 2 skal virksomhederne beregne et skøn over spredningen på nettopositionernes kroneværdi. Dette skøn baseres på historiske varianser og covarianser mellem ændringen i 8 valutaer. Finanstilsynet beregner varianser og covarianser, hvorefter de via tilsynets hjemmeside stilles til rådighed for de finansielle virksomheder. Kvartalsvis beregnes varianser og covarianser over en 36 måneders periode. Kvartalerne er forskudt i forhold til kalender-kvartalerne, således at første kvartal vedrører december til februar, mens andet kvartal vedrører marts til maj osv. Der beregnes fire sæt varianser og covarianser i løbet af et kalenderår.

Eksempel: Nationalbanken

Portefølje - styring Praktisk eksempel Regneark: Investering i 4 aktier Investeringssum på 100.000 US$ Hvor meget skal investeres i hver aktie – dvs. vægtning? Regneark: Invest.xls (mdl. afkast på 4 aktier i 4 år) Sammensæt porteføjlen så forventet afkast og risiko (std.afvigelse) afbalanceres.

Portefølje-styring Vægtning 25% til hver aktie giver Forventet afkast 2,69% pr. md. Std.afvigelse på afkastet på 4,03% Vægtning 10%, 40%, 30% og 20% giver Forventet afkast 2,29% pr. md. Std.afvigelse på afkastet på 4,23% Vægtning 70% samt 3 x 10% giver Forventet afkast 3,78% pr. md. Std.afvigelse på afkastet på 7,05% Vægtning 30%, 15%, 20% og 35% giver Forventet afkast 2,85% pr. md. Std.afvigelse på afkastet på 4,13%

Korrellation Måleskala: Mindst interval for begge variable Korrellationskoefficienten (græske bogstav rho): Korrellationskoefficienten er den standardiserede covarians, og derfor uden enhedsangivelse Korrellationskoefficienten måler styrken og retningen af den lineære samvariation mellem X og Y

Korrellation ρ xy= +1 ρ xy= -1 ρ xy= 0 ρ xy= 0

Excel: Korrellationskoefficient I vektor 1 og 2 angives x- og y-værdierne

Opgaver Opgavesamling i Statistik 2009 fra Statistica: Opgave 18 (+ evt. 21) Kovarians og korrellation : Opgave 67_data.xls Lav X-Y diagram i Excel Beregn Kovarians og Korrellationskoefficient