Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation1 Økonometri 1 Instrumentvariabelestimation II 7. december 2005

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 2 Plan: Dagens program:  Eksempel på korrelation og kausalitet IV estimation i tilfældet med flere regressorer og instrumenter:  Eksakt identificeret tilfælde: Samme antal instrumenter som endogene forklarende variabler: Kap og afsnit 4 i noten.  2SLS (two-stage least squares) estimation.  Overidentificeret tilfælde: Flere instrumenter end endogene variabler: Kap , afsnit 5 i noten.  Test af exogenitet

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 3 Korrelation -kausalitet Afhængig var. y Forklarende var. x KorrelationKausalitetMuligt instrument SkilsmisseAntal børnnegativ SkilsmisseAndel pigerPositiv UddannelseAntal børnNegativ børn med allergi Husdyr i hjemmet Negativ

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 4 Multipel IV estimation: Flere endogene regressorer Regressionsmodel på matrix form: Strukturel ligning: Opdel regressorerne i to grupper: Antag: regressorer er endogene: Skal som minimum bruge instrumenter

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 5 Multipel IV estimation: Eksakt identificeret tilfælde Eksakt identifikation: Vi har netop instrumenter til rådighed, samme antal som der er endogene regressorer: exogene variabler: er ”instrumenter for sig selv”. Z rummer alle exogene variabler i modellen:  er de variabler, der er inkluderet i den strukturelle ligning  er de variabler, der er ekskluderet fra den strukturelle ligning

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 6 Multipel IV estimation: Eksakt identificeret tilfælde For et gyldigt sæt af instrumenter kræves: Ingen korrelation med fejlleddet: Korrelation med de endogene regressorer: Ingen perfekt lineær afhængighed mellem instrumenterne:

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 7 Eksakt identificeret tilfælde: Estimation Betingelse for gyldigt instrument: Ingen korrelation med fejlleddet i populationen: Analog betingelse i stikprøven: Momentbetingelser definerer IV estimatoren: IV estimatoren er konsistent:

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 8 IV estimation generelt: To-trins procedure (2SLS) 1. trin: Prediktion af ud fra instrumenterne på grundlag af hjælpeligningerne:  hjælpeligninger, som estimeres ved OLS. Betegnes den reducerede form. Ligningerne for er ”trivielle”.  Estimater og prediktioner fra hjælpeligningen:  Matricen kaldes projektionsmatricen. Predikterede værdier af er asymptotisk ukorrelerede med fejlleddet. 2. trin: OLS på grundlag af predikterede værdier: 2SLS proceduren er ækvivalent med IV i det eksakt identificerede tilfælde

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 9 Overidentificeret tilfælde: Flere instrumenter end endogene regressorer Simpel regressionsmodel: To gyldige instrumenter: og Ex. Målefejlsmodel med to instrumenter. Ex. Både mors og fars uddannelseslængde som instrument i lønligning: Ex To mulige simple IV estimatorer:

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 10 Estimation med 2SLS Eksakt identifikation (=) eller overidentifikation ( >): 1. trin: Prediktion af variabler i ud fra instrumenter på grundlag af hjælpeligningerne: 2. trin: OLS på prediktionerne (eller brug prediktionerne som instrumenter):

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 11 Inferens med 2SLS Behøver en antagelse om homoskedasticitet, givet : Den asymptotiske kovariansmatrix for 2SLS estimatoren er givet ved: Bemærk: Residualer på grundlag af (ikke ) Asymptotisk gyldige standardfejl kan konstrueres herfra. De tilsvarende t-værdier vil være asymptotisk normalfordelte.

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 12 Test af exogenitet: En endogen, et instrument Er en given forklarende variabel endogen eller exogen?  Hvis endogen, så brug IV  Hvis exogen, så brug OLS (på grund af efficiens) Strukturel ligning: : Mistænker variablen for at være endogen, øvrige k-1 regressorer er exogene: Antag:, vi har et gyldigt instrument, : Reduceret form for :

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 13 Test af exogenitet: En endogen, et instrument (2) Hvis faktisk er exogen:  Både OLS og IV konsistente estimatorer:  OLS er efficient. Hvis faktisk er endogen:  Kun IV giver konsistente estimatorer: Test baseret direkte på forskellen mellem OLS og IV estimatoren: Wu-Hausman test (Økonometri 2).

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 14 Test af exogenitet: En endogen, et instrument (3) ”Residual augmenteret regression” test. Ide: Korrelation mellem og vil svare til, at der er korrelation mellem og (husk at pr. antagelse er ukorreleret med ). Splitte op i to dele: En del der er korreleret med og en ukorreleret del: Indsæt i strukturel ligning: Erstat med residualet fra den reducerede form, : Lav signifikanstest på ”Hjemmeopgave”: Lav test af exogenitet af educ i W’s løneksempel (Ex. 15.7)

Økonometri 1: Instrumentvariabelestimation 15 Næste gang: Onsdag d. 14/12. Mere om test af exogenitet og test for overidentifikation: Kap , afsnit 7-8 i note 6-trins procedure for IV estimation Eksempel