Økonometri 1: F81 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober 2006

Økonometri 1: F8 2 Dagens program Opsamling om asymptotiske egenskaber:  Asymptotisk normalitet  Asymptotisk efficiens Test af flere lineære restriktioner (kap og 5.2).  Eksakt F-test (4.5)  Mange observationer (5.2): Approximativt F-test Lagrange Multiplikator (LM) test Mere om funktionel form (kap. 6.2).

Økonometri 1: F8 3 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Hjemmeopgaven Lad os designe et lille eksperiment: MLR.1-4 (og MLR.5) er overholdt (faktisk er u uafhængige af x her); lineær model; ingen eksakt multikollinearitet; u har middelværdi nul og konstant varians. Men u trækkes fra en uniform (eller lige) fordeling (ej MLR.6):  Kontinuert fordeling fx på intervallet [-1,1].  Konstant tæthed f(u)=0.5 over intervallet.  Udfaldsrummet begrænset >< normalfordeling. “ Hjemmeopgave”: Illustration af Teorem 5.2 ud fra simulationseksperiment med uniformt fejlled: Kør SAS- programmet asynorm_uni.sas for forskellige værdier af n. Resultat af eksperimentet for forskellige n: SAS

Økonometri 1: F8 4 Flere lineære restriktioner Fælles test af flere lineære restriktioner: F-testet. Ex. Model med tre forklarende variabler:  Ex. på nulhypoteser  Generelt format:  q lineære restriktioner på koefficienterne i den lineære model.

Økonometri 1: F8 5 Flere lineære restriktioner (fortsat) Alternativhypotesen: Afvis nulhypotese blot én af q restriktioner ikke holder. Restrikteret (r) vs. urestrikteret model (ur):  Ex.: Restrikterede modeller: Lineære restriktioner: Restrikteret model er lineær i parametrene: Estimeres ved OLS.

Økonometri 1: F8 6 Flere lineære restriktioner (fortsat) Test af flere lineære restriktioner: F-testet. Tæller altid større end eller lig nul: Restrikteret model kan ikke tilpasse data bedre end urestrikteret model. Antal frihedsgrader i tæller: Antal restriktioner, q Antal frihedsgrader i nævner: n- antal regressorer i urestrikteret model. Helt generelt format for F-testet.

Økonometri 1: F8 7 Test af flere lineære restriktioner: Advarsel Wooldridge omtaler også ”R-squared” form af testet: Bør kun benyttes med stor varsomhed! OK så længe restrikteret model har samme venstreside som urestrikteret model. Mod-ex.: C-D produktionsfunktion med CRS. Omskriv: Indsæt restriktionen: Bemærk: Ny venstreside. Brug det generelle format for F-testet.

Økonometri 1: F8 8 Flere lineære restriktioner: Eksakt inferens Under CLM antagelser følger F-testet en eksakt F-fordeling: Fordeling findes i Tabel G.3. For en restriktion og to-sidet alternativ: Ækvivalent med t-test: Men F-test af fælles hypotese på flere koefficienter kan godt give andet resultat end individuelle t-test.

Økonometri 1: F8 9 Store datasæt: Approximativt F-test Ved ”mange” observationer:  ”The asymptotic normality of the OLS estimators also implies that the F-statistics have approximate F- distributions in large sample sizes” Wooldridge (side 185, øverst)  I praksis for store datasæt (når antagelserne MLR.1- MLR.5 er opfyldt) kan F-testene udføres på samme måde som når vi har eksakt inferens.

Økonometri 1: F8 10 Alternativt test i store datasæt: LM testet Lagrange multiplikator testet eller score testet. Generelt format:  Estimation af modellen under H 0  Residualer fra restrikteret model,  Hjælperegression (“auxiliary regression”) af  På hvad: Afhænger af den specifikke hypotese. Kræver ikke estimation af den generelle (dvs.urestrikterede model): Oftest den i praksis sværeste at estimere. LM testet kan anvendes når Gauss-Markov antagelserne (MLR.1-MLR.5) er opfyldt.

Økonometri 1: F8 11 LM testet: Udelukkelsesrestriktioner Specifikt eksempel: Udelukkelsesrestriktion Restrikteret model: Under H 0 vil være ukorreleret med de udeladte variabler:

Økonometri 1: F8 12 LM testet: I praksis Regression af y på det restrikterede sæt af regressorer. Gem residualerne, Hjælperegression af på alle forklarende variabler: (både inkluderede og ekskluderede). Gem Beregn LM=n LM-teststørrelsen vil almindeligvis (og uanset om der antages normalfordelte fejlled eller ej) være asymptotisk fordelt som, hvor q er antallet af restriktioner. Sammenlign beregnede testværdi med relevant fraktil i fordelingen. Eller beregn p-værdien for testet. Afvis H 0 hvis testet falder i den kritiske region.

Økonometri 1: F8 13 Funktionel form MLR forudsætter, at modellen er lineær i parametrene. Men ikke i variablerne. Funktionel form: Fortolkningsmæssige konsekvenser! Tre vigtige tilfælde:  Log-transformation  Kvadratiske led  Interaktionsled: Nyhed i multipel regressionsmodel Brug af log-transformation: Absolutte ændringer i log- transformeret variabel svarer til relative ændringer i den originale variabel. Brug af kvadratiske led: Aftagende eller stigende marginaludbytte/-effekt.

Økonometri 1: F8 14 Funktionel form: Interaktionsled Marginal effekt af at ændre værdien af en forklarende variabel,, afhænger af værdien af fx : Fx kan afkastet af erfaring variere med uddannelse: Igen: Multipel regressionsmodel: Men ”alt andet lige” betragtning med omtanke. Evalueringspunktet vælges med omhu.

Økonometri 1: F8 15 Præsentation af estimationsresultater Vigtigt at kunne præsentere og kommentere sine estimationsresultater på en ordentlig og overskuelig måde Generelt i empiriske analyser: Konventioner for rapportering af resultater Konkret i kurset: Eksamensopgaven Øvelserne: Afleveringsopgaver Illustreres med eksempel Læs selv afsnit 4.6

Økonometri 1: F8 16 NB’er Brug SSR-metoden til F-test. F-test også asymptotisk gyldigt under MLR.1-5. Generelt asymptotisk test: Lagrange multiplikator (LM) test. Følger asymptotisk en fordeling. LM test ved hjælp af en hjælperegression. Kvadratiske led og interaktionseffekter: OK i den lineære regressionsmodel. Men: Effekten af en marginal ændring af en bestemt variabel vil afhænge af værdien af en eller flere variabler i modellen.

Økonometri 1: F8 17 Næste gang: Mandag i næste uge. Resten af kapitel 6: Goodness-of-fit og prediktion  Læs selv kap Kapitel 7: Kvalitative variabler