Statistik for geografer Lektion 8

Stokastiske variable R S En stokastisk variabel er en afbildning af udfaldsrummet ind i de reelle tal. Man benytter ofte store bogstaver som X, Y og Z til at betegne en stokastisk variabel. Ved at udføre eksperimenter ( fx. foretage en meningsmåling, måle nitratindhold i drikkevand osv.) kan man få værdier af en stokastisk variabel. Disse værdier betegnes med de tilsvarende små bogstaver, fx. x1, x2, x3, …… xn , hvis der er udført n eksperimenter. X R S

Hvorfor er det lige at vi skal lære det her?

Stokastisk variabel

…og det vi vil, er jo …

Diskret variabel (antals variabel)

Beskrivelse af variationen

De vigtigste diskrete fordelinger Den uniforme fordeling (lige-fordelingen) Binomial-fordelingen Poisson-fordelingen

Den Uniforme Fordeling

Binomial Fordelingen

Binomialfordelingen Et basiseksperiment beskrives af et udfaldsrum E med to udfald succes (s) og fiasko (f), dvs. E={s,f}, hvor P(s)=p og P(f)=1-p. Basiseksperimemtet gentages n gange uafhængigt af hinanden. Hvis X betegner antal succes i de n gentagelser gælder der Sætning: E(X)=np ; V(X)=np(1-p) Eks. 5 uafhængige kast med en terning. X er antal 6’ere. q 1 2 3 4 5 P(X=q) 0,402 0,462 0,161 0,032 0,003 0,000

Et eksempel

Poisson Fordelingen

Poisson Fordelingen

Poisson Fordelingen

Poisson Fordelingen

SPSS

Kontinuerte fordelinger

Hvordan beskrives fordelingen?

Tæthedsfunktion

Middelværdi

Beskrivelse af variationen

Mere formelt :Kontinuerte fordelinger Definition: Tæthedsfunktion En sandsynlighedstæthedsfunktion på R er en integrabel funktion f : R→[0;∞[ hvor =1 Definition: Kontinuert fordeling En kontinuert sandsynlighedsfordeling er en sandsynlighedsfordeling, som har en sandsynlighedstæthedsfunktion f : funktionen kaldes fordelingsfunktionen for en kontinuert fordeling på R Definition: middelværdi ,varians og spredning Lad X være en stokastisk variabel med tæthedfunktion f(x) Middelværdi : μ=E(X)= Varians : σ2=E((X-μ)2)= Spredningen er σ

Normalfordelingen er det klassiske eksempel på en kontinuert fordeling. Her er tæthedsfunktionen givet ved Middelværdien er μ og spredningen σ. Den stokastiske variabel med denne tæthedsfunktion siges at være N(μ, σ2) –fordelt. Den normalfordelte stokastiske variabel, som har middelværdi 0 og varians 1, kaldes sædvanligvis U, og den tilhørende tæt- hedsfunktion for φ , dvs. at Den tilsvarende fordelingsfunktion kaldes for Ф, dvs. at

Man kan derfor klare sig med kendskab til værdier af Ф, som er Der gælder følgende : Man kan derfor klare sig med kendskab til værdier af Ф, som er tabellagt og indlagt i de fleste computersystemer. Undersøgelse af om et observationssæt kan betragtes som Normalfordelt: Apgar- fødselsvægt (SPSS) eller BMI – Geogear (SPSS)

Den uniforme fordeling

Normalfordelingen

Normalfordelingen

Standard normalfordelingen

Hvorfor er normalfordelingen interessent? Ja, det er den, fordi gennemsnittet af næsten alle målinger tilnærmelsesvis er normalfordelt. Mere præcist, så gælder den centrale grænseværdisætning :

QQ-plot – What and How?

Output

Annual Maximums of Daily Rainfall in Sydney Not nice and normal QQ-plot is not terrible though

Log-transform Much nicer!!

Detrended QQ-plots Here we see the difference between raw and log-transformed data Deviations seem to be scattered unstructured Deviations are structured

Skewness og QQ-plot Venstre-skæv

Skewness og QQ-plot Højre-skæv

Box-plot Outliers 75% percentil Median

Boxplot illustrerer forskelle