Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit1 Økonometri 1 Binær responsmodeller: Logit og probit 8. maj 2003

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 2 Plan: Nyt emne: Ikke-lineære modeller for modeller med en binær afhængig variabel: Afsnit Del af større klasse af modeller for variabler, hvor udfaldsrummet er (substantielt) begrænset: “Limited dependent variables (LDV)”. I dag: Logit og probit modeller for binær respons (p ). Maximum likelihood estimation af logit og probit modeller (p ). Næste gang:  Fortolkning og sammenligning af binær respons modeller (p ).  Eksempel: Data fra spørgeskemaerne.

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 3 Modeller for binær respons variabler Model for kvalitativ variabel med to udfald. Kodes oftest som og Modellerer respons-sandsynligheden: Forklarende variabler indgår som et lineært index:. kan indeholde transformationer (log, kvadratiske, interaktionsled,…) Ikke-lineær model (i parameteren ) som følge af ikke- lineær funktionsform for (”link-funktionen”).

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 4 Eksempler: Arbejdsmarkedspolitik: Inde eller ude af arbejdsstyrken: Forklaret ved samlevers indkomst, uddannelse, arbejdsmarkedserfaring, alder, (små) børn,…(Ex. 17.1, Ex. 8.8, afsnit 7.5). ”Corporate governance”: Vælger anpartsselskaber at have en bestyrelse eller ej? Forklaret ved virksomhedens størrelse, antal ejere, ejernes andele,…(papirer af Bennedsen og Nielsen, Uddannelsespolitik: Sandsynligheden for at bestå 1. årsprøve på polit: Forklaret ved adgangskvotient, adgangsgivende eksamen, køn, ”eksamensalder”, … (artikel af Albæk og Ugeseddel 13).

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 5 Binær responsmodeller (1) Model: Link-funktioner:  Logit:  Probit:  ………………………  Lineær sandsynlighedsmodel (afsnit 7.5):

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 6 Binær responsmodeller (2) Model: Egenskaber for link-funktioner:  Logit og probit: ………………………..  Lineær sandsynlighedsmodel : er ubegrænset.

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 7 Motivation for binær respons model: Latent variabel Latent (dvs. underliggende og uobserveret) variabel givet ved: Funktionen er indikatorfunktion, lig 1 hvis sand, lig 0 ellers. følger standard logistisk fordeling (logit) hhv. standard normalfordeling (probit): Symmetrisk omkring nul, dvs. Udlede respons-sandsynligheden:

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 8 Partielle effekter på respons-sandsynligheden: Kontinuert forklarende variabel Alt-andet-lige effekt af en marginal ændring af på respons- sandsynligheden: Skalering af koefficienten i det lineære index, skalafaktor Samme fortegn som koefficienten Effekten afhænger af værdierne af : Ikke-lineær model.

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 9 Partielle effekter på respons-sandsynligheden: Diskret forklarende variabel Ikke-linearitet betyder at alt-andet-lige effekten af en ændring af en dummy variabel på respons-sandsynligheden må findes som: Igen afhænger effekten af værdien af de andre Fortegnet bestemt af. Må finde en passende ”referenceperson” at evaluere effekten for: Fastlægge værdier af Oftest vælges en ”gennemsnitlig” person (dog: dummyer). Mere om det næste gang.

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 10 Estimation: Maximum likelihood Reminder: TSØ p Specificere fuldstændigt modellen ved at vælge og en fordeling for. Givet tilfældig stikprøve : Betinger på og kan bestemme den simultane punktsandsynlighed for, givet : Estimere parametrene ved at maximere likelihoodfunktionen Maximum likelihood estimatet er den værdi for hvilken er maximal.

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 11 Estimation: Ex. med topunktsfordeling (binær fordeling) (1) Reminder: TSØ p Ingen forklarende variabler: er uafhængige, identisk fordelte binære stokastiske variabler trukket fra fordeling med punktsandsynlighed. Kan skrives mere kompakt som: Den simultane punktsandsynlighed for er : Log-likelihood funktionen: Maximeres af:

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 12 Estimation: Ex. med topunktsfordeling (binær fordeling) (2) Specificere at : Vi er tilbage i den binære ”respons” model. blev valgt som monoton funktion. MLE af er veldefineret. Kan beregnes som: Nu: Re-introducere forklarende variabler i modellen.

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 13 ML estimation af binær responsmodel Punktsandsynlighed for givet : Log-likelihood funktionen: Ingen analytisk løsning af maximeringsproblemet: Likelihoodligninger svarende til de parametre løses af iterativ algoritme. Under ret generelle antagelser er ML estimatoren konsistent, asymptotisk normalfordelt og asymptotisk efficient.

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 14 Hypotesetest i binær responsmodel I forbindelse med binær respons bruges oftest Wald- eller likelihood ratio test. Wald-test for exclusion af hver af de forklarende variabler rapporteres oftest som signifikanstest (fx af SAS). Likelihood ratio testet er baseret på teststørrelsen: hvor log-likelihood værdierne stammer fra hhv. den urestrikterede (ur) og den restrikterede (r) model. LR test for restriktioner på modellen er asymptotisk fordelt som, hvor q er antallet af restriktioner, der bliver lagt på modellen.

Økonometri 1: Binær responsmodeller: Logit og probit 15 Næste gang: Ikke-lineære modeller fortsat: Kap Logit og probit modeller for ”binær respons”  Fortolkning og sammenligning af binær respons modeller (p ).  Eksempel: Data fra spørgeskemaerne.