Sandsynligheder Udfald og hændelser Sandsynligheder Additionsreglen Betinget sandsynlighed Multiplikationsreglen

Udfald og hændelser De mulige udfald (elementer) udgør udfaldsrummet (mængde). Eks: antal fremspirede frø ud af 50: Udfaldsrum: U = {0, …, 50} En hændelse er en delmængde af U, fx Ex: Hændelsen A: ”mindst 10 frø spirer” er A= {10, 11, … , 50}

Sandsynligheder P(A) = Sandsynlighed for at hændelsen A indtræffer Teoretisk sidestykke til relativ hyppighed: hvor X er antallet af gange A indtræffer i n forsøg.

Eksempel Kast med en terning, antal øjne: 6 5 4 2 3 3 1 4 1 2 1 4 6 2 4 3 … Hændelse A= {2,4,6} (lige antal øjne) Relativ hyppighed af A er her 9/16= 0.5625 Sandsynligheden for A er 0.5 hvis vi antager at antal øjne i et kast er ligefordelt. Relativ hyppighed ændrer sig (tilfældigt) med antal kast. Sandsynligheden er derimod uændret.

Additionsregel Ssh for at mindst en af en række hændelser (A, B, …) indtræffer er summen af ssh for hver af dem, dvs. = P(A) + P(B) + ... HVIS hændelserne udelukker hinanden (ingen fælles mulige udfald)

Additionsreglen som ikke gælder Eks: Hvis ssh for at salmonella findes i en kylling er 0.03, hvad er så ssh for at finde salmonella i mindst en kylling ud af 5? Svar: 0.03 + 0.03 + … + 0.03 = 0.15 FORKERT!! Fejl, fordi hændelserne ikke udelukker hinanden. Rigtigt: 1 – 0.975 (ifølge multiplikationspincippet)

Betinget sandsynlighed Betinget ssh. af A givet B: P(A|B) = P(A og B)/P(B) Hændelser, A og B, kaldes uafhængige, hvis P(A|B) = P(A) som også kan skrives P(A og B) = P(A)P(B).

Multiplikationsreglen Sandsynligheden for at en følge af hændelser (A, B, C, …) alle indtræffer er produktet af deres sandsynligheder, altså P(A og B og C) = P(A)P(B)P(C) … HVIS hændelserne er uafhængige!!

Binomialfordelingen Hvornår bruges den? Beregninger Formler

Binomialfordelingen - typiske eksempler Antal dyr med en bestemt sygdom i en stikprøve. Antal døde celler ud af 100 celler observeret i et mikroskop. Antal afkom med genotype aa ud af 4 fra et forældrepar med genotyper (Aa x Aa). Antal ...ud af ...

Anvendelse Binomialfordelingen anvendes som model for antallet af gange en hændelse indtræffer ud af et bestemt antal forsøg. X= antal hunde som har adfærdsproblemer ud af 58 X binomialfordelt (n=58, p), hvor p er ukendt. Forudsætning 1: Uafhængighed Forudsætning 2: Homogenitet (samme p hver gang)

Eksempel Antallet af besætninger med mastitis ud af n=40 Antallet af forsøgsdyr ud af n=10 på en bestemt diæt som vokser mere end 10% i en periode Antallet af dyr med mastitis i en besætning med n=200 dyr. Uafhængighed? Homogenitet?

Beregningseksempel Forekomst af salmonella i en population af kyllinger antages at være 10 %. Hvad er sandsynligheden for at tre kyllinger alle er inficeret? ingen af de tre kyllinger er inficeret? præcis 1 af 3 kyllinger er inficeret? Hvor mange kyllinger skal udtages for at man med 95% sikkerhed opdager at der findes salmonella i populationen?

Binomialfordeling: Formel X binomialfordelt med antalsparameter n sandsynlighedsparameter p P(X=j) = nCj pj (1-p)n-j Eksempel (indsæt n=4, j=3, p=0.5): P(X=3) = 4C3 0.53 (1-0.5)4-3 = ... = 0.25

Poissonfordelingen Hvornår bruges den? Beregninger Formler

Poissonfordelingen - typiske eksempler Antal tilfælde af en sjælden ikke-smitsom sygdom i løbet af et år. Antal bakteriekolonier talt i en petriskål. Antal hunde der ankommer til en veterinærklinik i løbet af et døgn Antal ...

Anvendelse Poissonfordelingen anvendes som model for X= antallet af gange en hændelse indtræffer i en vis periode, eller et vist område (i tid eller rum). X Poissonfordelt (λ), hvor λ er ”middelværdien”. Forudsætning 1: Uafhængighed (ml disjunkte områder) Forudsætning 2: Homogenitet (samme sandsynlighed for forekomst i alle delområder af samme størrelse)

Beregningseksempel I gennemsnit ankommer 2 hunde om dagen til en veterinærklinik. Hvad er sandsynligheden for at der en bestemt dag ankommer netop 1 hund? Ingen ankommer?

Poissonfordeling: Formel X Poissonfordelt med parameter λ P(X=j) = λj exp(-λ)/j! For j= 0,1, 2, ...

MPN-metoden 20 prøver af 1 ml opløst i forholdet 1:100000 udtages og dyrkes på 20 plader. Man kan ikke se antallet af kolonier, men kun om prøven er positiv (mindst 1 koloni). Hvad er koncentrationen af bakterien (antal/ml efter fortynding og antal/ml inden fortynding), hvis 12 ud af de 20 prøver er positive? Kun model og metode – ingen beregninger her