Statistik – Lektion 2 Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Repetition Population Stikprøve Hændelser Sandsynligheder Populationsstørrelse N Populationsmiddelværdi μ Populationsvarians σ2 Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s2 Hændelser Sandsynligheder

Simultan og marginal sandsynlighed Simultan sandsynlighed er sandsynligheden for at en eller flere hændelser indtræffer simultant, fx P(A1∩B1) Marginale sandsynligheder beregnes ved at summere over rækker og søjler Holdning til fælles fond B Fælles fond bedst B1 Fælles fond dårligst B1 Total God skole A1 P(A1∩B1) =0.11 0.29 P(A1) = 0.40 Dårlig skole A2 0.06 0.54 0.60 0.17 0.83 P(A)=P(B)=1.00 Skole B

Uafhængighed To hændelser er uafhængige hvis: Lige meget hvilken kombination af hændelser vi vælger, skal uafhængigheden gælde. Hvis bare en kombination viser afhængighed, er hændelserne afhængige.

Uafhængighed Eksempel: Er der uafhængighed mellem om en fælles fond er god eller dårlig og om manageren kom fra en god eller dårlig skole? Holdning til fælles fond B Fælles fond bedst B1 Fælles fond dårligst B2 Total God skole A1 0.11 0.29 0.40 Dårlig skole A2 0.06 0.54 0.60 0.17 0.83 1.00 Skole B Check fx om P(B1|A1) = P(B1) el. P(A2∩B2)= P(A2)P(B2)

Lov om Total Sandsynlighed I ord: Sandsynligheden for A er lig sandsynligheden for A og B plus sandsynligheden for A og B’s kompliment. _ B B A

Eksempel – Lov om Totalsandsynlighed Kortspil – find sandsynligheden for at trække et billedkort, A: Det må være sandsynligheden for at trække en billedkort i Hjerter (H), Spar (S), Ruder (R) eller Klør (K): P(A)=P(A∩H) + P(A∩S) + P(A∩R) + P(A∩K) = 3/52 + 3/52 + 3/52 + 3/52 = 12/52 Hjerter Spar Ruder Klør A∩H A∩S A∩R A∩K A

Bayes’ sætning Bemærk: Vi har ”vendt” de betingede sandsynligheder!

Bayes’ sætning – Eksempel 2-10 En test for en sjælden sygdom, der rammer 0,1% af befolkningen (P(I)=0,001), er upræcis. Lad i det følgende: Sandsynligheden for at testen er positiv når man er syg: Sandsynligheden for at testen er positiv, når man er rask: Hvad er så sandsynligheden for at man er syg, givet at testen var positiv?

Stokastisk Variabel: Et eksempel Betragt de forskellig mulige ordninger af drenge (B) og piger (G) i fire fødsler. Der er 2*2*2*2=24 = 16 muligheder og udfaldsrummet er: BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB GGGB BBGG BGGG GBGG GGGG Hvis pige og dreng er lige sandsynlige, [P(G) = P(B) = 1/2], og kønnet af hvert barn er uafhængig af kønnet på det foregående barn, så er sandsynligheden for hver af disse 16 muligheder: (1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16.

Eksempel - fortsat Tæl antallet af piger i hver af de fire fødsler: BBBB (0) BGBB (1) GBBB (1) GGBB (2) BBBG (1) BGBG (2) GBBG (2) GGBG (3) BBGB (1) BGGB (2) GBGB (2) GGGB (3) BBGG (2) BGGG (3) GBGG (3) GGGG (4) Bemærk at: hvert mulig udfald tildeles en enkelt værdi værdierne, der tildeles varierer over de forskellige udfald Antallet af piger er en stokastisk variabel: En stokastisk variabel , X, er en funktion, der tildeler en enkelt, men variabel værdi til hvert element i udfaldsrummet.

Eksempel - fortsat X 1 2 3 4 Punkter på den reelle linie Udfalds rum BBBB BGBB GBBB BBBG BBGB GGBB GBBG BGBG BGGB GBGB BBGG BGGG GBGG GGGB GGBG GGGG 1 2 3 4 X Udfalds rum Punkter på den reelle linie

Stokastisk variabel En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S (udfaldsrummet), der antager værdier på R (reelle tal) I eksperimenter knyttes en talværdi til hvert udfald: Stokastiske variable kan enten være diskrete eller kontinuerte. Diskrete: Antager et endeligt antal værdier Kontinuerte: Antager værdier i en mængde af reelle tal X: S R S oi R X(oi) X

Eksempler på diskrete og kontinuerte variable Eksperiment Stokastisk variabel Type Kast med terning Antal øjne Diskret Kast med 2 terninger Sum af antal øjne Familie i Danmark Antal børn Indkomst Kontinuert Kvinder i Danmark Højde Baby Fødselsvægt Resten af denne forelæsning ser vi på diskrete stokastiske variable

Eksempel - fortsat Eksempel: Den stokastisk variabel X = 3 når de følgende fire hændelser BGGG, GBGG, GGBG, eller GGGB forekommer, P(X = 3) = P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB) = 4/16 Sandsynligheds fordelingen af en stokastisk variabel er en tabel, der opskriver alle de mulige værdier af en stokastisk variabel og deres tilknyttede sandsynligheder. x P(x) For eksemplet: 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 16/16=1

Eksempel - fortsat

Sandsynligheds fordeling Definition: Lad X:S→R være en diskret stokastisk variabel. P(X=x) = P(x) er en sandsynligheds-fordeling (-funktion) for X, hvis:

Kumulativ fordelingsfunktion Den kumulative fordelingsfunktion, F(x), for en diskret stokastisk variabel X er: Kumulative fordelingsfunktions for antallet af piger ved 4 fødsler: x P(x) F(x) 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16 16/16 1.00 1 . . 9 . 8 . 7 x ) . 6 ( F . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 1 2 3 4 x

Eksempel - fortsat x P(x) F(x) 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16 16/16 1.00

Middelværdi Middelværdien af en diskret stokastisk variabel X er givet ved: Dvs. summen af værdien gange sandsynligheden for værdien – et vægtet gennemsnit. Bemærk! Middelværdi kaldes også den forventede værdi.

Middelværdi - Eksempel x P(x) xP(x) 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 16/16=1 Eksempel: X er antal øjne ved terningkast. Dvs. P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) =1/6. Middelværdien er da:

Varians Variansen er den vægtede gennemsnitlige kvadrerede afvigelse af værdierne af en stokastisk variabel fra gennemsnittet. Standard afvigelsen er kvadratroden af variansen:

Varians - eksempel x x2 P(x) x2P(x) xP(x) 0 0 1/16 0 0 0 0 1/16 0 0 1 1 4/16 4/16 4/16 2 4 6/16 24/16 12/16 3 9 4/16 36/16 12/16 4 16 1/16 16/16 4/16 1 80/16 32/16

Chebyshevs Sætning For en stokastisk variabel X med middelværdi μ og varians σ2 og ethvert tal k>1 gælder: Ex: k=2: Dvs. at med mindst 75% sandsynligheden er X mindre end to standardafvigelser fra μ.

Regneregler for middelværdi og varians Hvis X er en diskret stokastisk variabel, da er middelværdien for en funktion h(X) givet ved Regneregler for en lineær funktion af X:

Regneregler for middelværdi og varians Middelværdien af en linearkombination af stokastiske variable X1,X2,…,Xk. Hvis X1,X2,…,Xk er indbyrdes uafhængige, så: