Økonometri 1: F3 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 15. september 2006

Økonometri 1: F3 Dagens program Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap ) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske egenskaber for OLS-estimatoren:  Hvornår er OLS middelret?  Variansen på OLS estimatoren

Økonometri 1: F3 Funktionel form Ikke altid rimeligt at antage en lineær relation mellem variablerne Nemt at lade ikke-lineære transformationener af variablerne indgå (så længe modellen stadig er lineær i parametrene) Man skal dog være opmærksom på, at fortolkningen af parametrene ændrer sig!

Økonometri 1: F3 Funktionel form (fortsat) I eksemplet med timelønnen benytter man ofte følgende model ”Fortolkningen” af parameteren :  Den relative ændring i lønnen ved ét års ekstra uddannelse (givet alt-andet-lige betingelser)  er approximativt det procentvise afkast af et års mere uddannelse  Samme afkast uanset uddannelsesniveau!

Økonometri 1: F3 Funktionel form (fortsat) ModelAfhængig variabel Forklarende variabel Hæld- ning Elasti- citet Lineæryx 11  1 x/y Log-linLog(y)x 1y1y 1x1x Lin-logyLog(x)  1 /x  1 /y Log-lineærLog(y)Log(x)  1 y/x 11

Økonometri 1: F3 Funktionel form (fortsat)

Økonometri 1: F3 Funktionel form (fortsat) Definitionen på den lineære regressionsmodel er at modellen er lineær i parametrene … ikke nødvendigvis i variablerne. Er følgende modeller lineære regressionsmodeller? Kan de gøres lineære?

Økonometri 1: F3 Hvornår er OLS middelret? Definition (se appendix C.2 side )  Se på en given estimator (”regneregel”) b  En estimator b af er middelret (unbiased) hvis for alle værdier af Middelret er en statistisk egenskab ved estimatoren Hvorfor er det vigtigt at estimatoren er middelret?

Økonometri 1: F3 Middelret.. (fortsat) Antagelser:  SLR.1 (lineær i parametrene): Den afhængige variabel y kan beskrives ved følgende model:  SLR.2 (tilfældig stikprøve): Vi har en tilfældig stikprøve (y i,x i ) i=1,..,n fra populationen  SLR.3 (variation i x): I data må ikke alle x’erne være lig den samme værdi.  SLR.4 (betinget middelværdi af fejlled):

Økonometri 1: F3 Middelret.. (fortsat) Teorem 2.1 (OLS er middelret) Under betingelserne SLR.1-SLR.4 er OLS- estimatoren middelret: Bevis for teorem 2.1 (tavlegennemgang)

Økonometri 1: F3 Variansen af OLS estimatoren Estimatoren er centreret omkring den ”sande” værdi under de givne antagelser. Det betyder ikke, at estimatet vil være lig den ”sande” værdi (kun at middelværdien er lig den sande værdi)...Men hvor langt fra den sande værdi kan vi forvente at estimatet ligger? For at besvare dette spørgsmål udregnes variansen på estimaterne.

Økonometri 1: F3 Variansen (fortsat) Antagelse: SLR.5 (Homoskedasticitet): Variansen af u er konstant. Denne antagelse er ikke nødvendig for resultatet om middelret estimation. SLR.5 gør beregninger af variansen lettere, men man kan godt udregne variansen uden antagelse SLR.5 (vi vender tilbage til dette i kap. 8). SLR.1-SLR.5 kaldes under ét for Gauss-Markov antagelserne.

Økonometri 1: F3 Variansen (fortsat) Man kan vise at σ 2 også er den ubetingede varians af u. Hvornår er antagelse SLR.5 ikke opfyldt:  Hvis variansen afhænger af den forklarende variabel: Heteroskedasticitet (se figur 2.9): Kapitel 8. Teorem 2.2 (variansen af OLS estimatoren)  Under antagelse SLR.1-SLR.5  Bevis for teorem 2.2 (tavlegennemgang)

Økonometri 1: F3 Estimation af variansen på fejlleddet Variansen på OLS estimaterne afhænger af variansen på fejlleddet,. Variansen på fejlleddet er ukendt men kan estimeres vha. residualerne: Teorem 2.3 (middelret estimat af variansen på fejlleddet) Under antagelserne SLR.1-SLR.5 gælder Bevis: Læs kommentarer til beviset i noten på hjemmesiden.

Økonometri 1: F3 NB’er fra denne forelæsning Middelret estimation betyder ikke, at det konkret beregnede estimatet vil være lig den ”sande” værdi (kun at middelværdien af estimatoren er lig den sande værdi). SLR.1-4 er nødvendige og tilstrækkelige for middelret estimation (SLR.5 om konstant varians på fejlleddet er ikke nødvendig; normalitet er heller ikke krævet). ”Hjemmeopgave”: Opstil den simple lineære regressionsmodel på matrixform (Ugeseddel 1).

Økonometri 1: F3 Næste gang Læs selv kapitel 2.6. Mandag: Om kapitel : Den multiple lineære regressionsmodel. Husk:  ”Hjemmeopgaven” om regressionsmodellen på matrixform.