Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 7. Analyse af lineare systemer og praktiske eksempler Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk

Agenda Amplitude og fase respons plots fortsat. Fra poler til Fourier plots Ideelle filtre Matlab

Signaler og systemer i de 3 domæner Repetition Signaler og systemer i de 3 domæner System Input Output Output Tids domænet: Fourier domænet: Z-transfomation:

IIR og FIR filter Repetition IIR FIR Systemer med uendelige impuls respons har altid mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) FIR Systemer med endelige impuls respons har ingen betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) General form: Eksempel: Invers transformation:

ROC af differentiel funktioner Repetition ROC af differentiel funktioner Hvis systemet er kausalt Hvis systemet er stabilt og dobbelt siddet Re Im 1 2 3 * * Im 3 2 1 Re * * 1 2 5

Stabilt system Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset ”Bounded input Bounded output (BIBO)” I tids domænet: Vi kan se om ovenforstående gælder i z-transformatione hvis Derfor skal enhedscirkelen ligge i ROC hvis systemet er stabilt Dermed skal polerne for et stabilt system ligge indenfor enhedcirkelen

Amplitude og fase respons Repetition Amplitude og fase respons Amplitude output : Fase output : Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain” Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet

Amplitude og fase respons: Ideelle delay system Repetition Amplitude og fase respons: Ideelle delay system Ideelle delay system: Frekvens respons Amplitude respons Fase respons

Group delay Repetition Forskydning opgivet i samples (tid) Idelle delay: Group delay:

Ideelt gruppe delay Repetition I de fleste systemer vil vi gerne have konstant gruppe delay for interessante frekvenser Da forsager en lineær fase respons et konstant gruppe delay.

Agenda Amplitude og fase respons plots fortsat. Fra poler til Fourier plots Ideelle filtre Matlab

Frekvens respons af LTI systemer Outputtet er inputtet foldet med systemets impuls respons Foldning svare til multiplikation i frekvens domænet

Amplitude og fase respons Amplitude output : Fase output : Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain” Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet

EKG filteret med et filter med ikke linear fase

Frekvens respons af rationelle systemer Ved at substituere z=ejω

Amplitude respons af rationelle systemer multiplikation/division af absolutte faktorer

Fase respons af rationelle systemer Gruppe delay: Addering/substrahering af absolutte faktorer

Amplitude respons i dB Amplitude respons i dB: Der med kan både Amplitude og fase respons beregne ved addering

Generaliseret lineær fase Hvor A er en reel funktion til ω Og hvor det ekspotentielle led beskriver fasen ved den lineære funktion hvor α og β er konstanter

Eksempel på Generaliseret lineær fase Z transform FT transform Sidste led er jævnfør bevis side 73 Fasen –ω1.5 og gruppe delay er 1.5 sampels

Symmetri af impulsresponser Sikkerhed for generel lineær fase hvis Symmetrisk impuls respons: Antisymmetrisk impuls respons:

Eksempler på symmetriske FIR linear fase systemer Type I: h[n]=h[m-n] (M Even) Type II, h[n]=h[m-n] (M odd) Type III, h[n]=-h[m-n] (M Even) Type IV, h[n]=-h[m-n] (M odd)

Agenda Amplitude og fase respons plots fortsat. Fra poler til Fourier plots Ideelle filtre Matlab

Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (1/2) System z-domæne: System Fourier domæne Plot poler, nul punkter og som vektore i z-planet Fra vektor matematik ved vi: Og da amplitude responsen er Nul vektor Derfor

Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)

Polers virkning på amplitude responsen Et nul punkt og ingen pol: Ingen nul punkt og en pol Så derfor jo mindre v3 (pole vektor) og jo større amplitude

Fase respons fra z-plan et nul punkt System z-domæne: System Fourier domæne Husk faser fra flere systemer skal adderes: Derfor er Da Er

Fase respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)

Agenda Amplitude og fase respons plots fortsat. Fra poler til Fourier plots Ideelle filtre Matlab

Ideelle filtre Fjerner uønskede signaler Påvirker ikke det ønskede signal

Implusrespond for ideellet lavpas filter

Poler og nulpunkter

Fra lavpas til højpas filtere Invers Fourier Differrens funktion

Digital resonator Poler tæt på enhedscirklen

Notch Filter Nul punkter tæt på enhedscirklen o Re Im 1 2 3 o o

All-pass filter F.eks.

Agenda Amplitude og fase respons plots fortsat. Fra poler til Fourier plots Ideelle filtre Matlab

Test af digitalt system (A) Find impuls responsen af system2.m

Test af digitalt system (A) Er systemet lineært? Er det tidsinvariant? Er det kausalt? Er det stabilt? Er det et IR eller FIR system?

Lineært system Defineret ud fra superposition

Tidsinvariante systemer Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid (Koefficienterne er uafhængig af tid) Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-n0] så er y2[n]=y1[n-n0] Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år 70 år 45 år 20 år Ikke tidsinvariant system

Kausalitet Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid. y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1

Stabilitet Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset Bounded input Bounded output (BIBO) Hvilket kan sikres hvis impulsresponsen kan summers til en endelig værdi Givet

FIR systemer Finite impulse response (FIR) Endelig antal nonzero samples i impulsresponsen Altid stabilt så længe værdierne i impuls responsen er endelige

IIR systemer Infinite impulse response (IIR) Uendelig antal nonzero samples i impulsresponsen Kan være både stabilt og ustabilt Eksempel på et stabilt system

Test af digitalt system (A) Er systemet lineært? Ja Er det tidsinvariant? Ja Er det kausalt? Ja Er det stabilt? Ja Er det et IR eller FIR system? FIR

Test af digitalt system (B) systemB.m System respons Bestem poler og nul punkter Find frekvensen responsen H(ej) analytisk Find frekvensen responsen H(ej) i fra impuls responsen

Output af system Bestem output hvis inputtet er Bestem y[n] med ved hjælp af systemet Bestem y[n] med foldning i mellem Bestem y[n] med Fourier transform Bestem y[n] med input output funktion (Differentiel funktion)