Lav en tilfældig retvinklet trekant u 90-u hos mod hyp Bevis I u 90-u hos mod hyp Lav en tilfældig retvinklet trekant Lav en kopi af trekanten, drej den 90 og placer den med u-spidsen mod 90-u spidsen u 90-u hos mod hyp u 90-u hos mod hyp Gentag proceduren med den nye trekant to gange

Gør rede for, at den store firkant er et kvadrat u 90-u hos mod hyp Et kvadrat er kendetegnet ved, at vinklerne er 90, og alle fire sider er lige store w Gør rede for, at den store firkant er et kvadrat w w Siderne er alle hos + mod & vinklerne er 90, da de grå trekanter er retvinklede w Gør rede for, at den lille firkant er et kvadrat Siderne er alle hyp & vinklerne er 90, da u + 90 - u = 90, og dermed er der 90 tilbage til w.

Kstor = Klille + 4T  (mod + hos)2 = hyp2 + 4½modhos T T u 90-u hos mod hyp Overvej, at det store kvadrat kan dannes af det lille kvadrat Klille og de fire trekanter T w T T Opstil en ligning for arealet af det store kvadrat udtrykt ved arealerne af det lille kvadrat og trekanterne Klille w w Kstor = Klille + 4T  (mod + hos)2 = hyp2 + 4½modhos T T w Udnyt dette og kvadratsætn. til at vise den pythagoræiske sætn. (mod + hos)2 = hyp2 + 4½modhos  mod2 + hos2 + 2modhos = hyp2 + 2modhos  mod2 + hos2 = hyp2 Kvadratet på hypotenusen er summen af kateternes kvadrater

Højden hc fra C tegnes og fodpunktet kaldes D. Bevis II ΔABC tegnes med C = 90° Højden hc fra C tegnes og fodpunktet kaldes D. AD og DB kaldes hhv. x og y, dvs. c = x + y. B benævnes v, og da gælder: BCD = 180 °- 90 °- v = 90 ° - v ACD = 90 °- BCD = 90 °- (90 °- v) = v A = 180 ° - 90 °- v = 90 ° - v Overbevis dig om at ΔABC, ΔACD og ΔBCD er ensvinklede: A C B a b ∟ c x y 90- v v hc D ∟

Sammenlign ΔABC med ΔACD: ⇔ b 2 =c∙x b x = c b Sammenlign ΔABC med ΔACD: ⇔ b 2 =c∙x a y = c a Sammenlign ΔABC med ΔBCD: ⇔ a 2 =c∙y hc x A C D b 90-v v 90- v c A C B a b x y ∟ hc D v v 90- v y 90- v a B C v hc D

De to udtryk, b 2 =c∙x og a 2 =c∙y , kombineres: c∙x+c∙y= b 2 + a 2 ⟺ c∙(x+y)= b 2 + a 2 ⟺ c∙c= b 2 + a 2 ⟺ c 2 = a 2 + b 2 Kvadratet på hypotenusen er summen af kateternes kvadrater