Valgkampens og valgets matematik Ungdommens Naturvidenskabelige Forening: Valgkampens og valgets matematik Rune Stubager, ph.d., lektor, Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet

Disposition Meningsmålinger Valgsystemet Hvorfor kan vi stole på dem? Hvad er usikkerheden? Et eksempel Valgsystemet Hvordan bliver stemmer til mandater?

1 Meningsmålinger Problemet: Svaret: En normal meningsmåling består som regel af ca. 1000 personer, som er blevet stillet ét eller flere spørgsmål – fx hvilket parti, de vil stemme på ved valget. Hvordan kan vi overhovedet sige noget om hele befolkningen ud fra kun 1000 personer? Svaret: Sandsynlighedsteori

1.1 Notation Et eksempel: Epinion giver S 29,3% af stemmerne = en andel på 0,293 Men hvad er S stemmeandel i hele kommunens befolkningen? π = Andelen i hele befolkningen (populationsparameteren) = Stikprøvens estimat af andelen i befolkningen n = Stikprøvens størrelse

1.2 Det sandsynlighedsteoretiske grundlag Andelen i en given stikprøve er et stikprøvemål – dvs. noget der er beregnet på baggrund af en stikprøve Hvis man udtager mange stikprøver og beregner det samme mål, vil der være en vis variation i dem Man kan derfor vise dem i et stolpediagram, hvor hver stolpe viser, hvor mange stikprøver, der har fået en given værdi for målet Den fordeling, der herved fremkommer, kaldes stikprøvemålsfordelingen – og det er den vi er interesserede i

1.2 Den centrale grænseværdisætning Hvis stikprøven er udtrukket simpelt tilfældigt, gælder det, at: Når n er tilstrækkelig stor, vil fordeling – uanset fordelingen i populationen – være omtrent normalfordelt med gennemsnit π og standardafvigelse (kaldes standardfejl)

1.2 Den centrale grænseværdisætning Simulation http://www.vias.org/simulations/simusoft_cenlimit.html Og hvad kan vi så bruge det til? Vi kender ikke π, men vi ved, at når stikprøven er udtaget tilfældigt, så gælder CGS, og så følger stikprøvefordelingen normalfordelingen For normalfordelinger kan det vises, at 95% af fordelingen ligger inden for en afstand på ± 1,96 gange standardfejlen af gennemsnittet

1.2 Normalfordelingen 95% 2,5% 2,5% π

1.3 Konfidensintervaller Vores fordeling er en fordeling af stikprøvemål for andelen π Dvs. hvis vi for hver stikprøve laver et interval på ± 1,96 gange standardfejlen rundt om estimatet af π, så vil det indeholde π i 95% af de gange, vi udtrækker en stikprøve For den enkelte stikprøve siger man, at intervallet indeholder π med 95% konfidens (= sikkerhed) Intervallet kaldes således et konfidensinterval og viser altså de værdier, hvor indenfor det er rimeligt sandsynligt, at π falder

1.3 Princippet bag et 95% konfidensinterval for andelen 2,5% 2,5% π

1.3 En lille detalje Beregning af standardfejlen forudsætter kendskab til π: I praksis estimeres denne dog ud fra stikprøven, så standardfejlen beregnes som

1.4 Konfidensinterval for andele: Definition Et 95% konfidensinterval for π er defineret som Vi opstiller altså et interval, hvori π befinder sig med 95% konfidens Gælder som udgangspunkt kun for n>30 og 0,3 < π < 0,7

1.4 Definition (forts.) Generelt: n skal overstige 30 For π < 0,3 eller π > 0,7: Stikprøvemålsfordelingen skæv  skærpet krav til n: Der skal mindst være 10 observationer både i den kategori vi måler andelen for – og i resten af gruppen – fx skal mindst 10 respondenter ville stemme på S og mindst 10 respondenter på alle andre partier til sammen

1.5 Et eksempel Fx: Rambøll i JP Århus i søndags: Estimat: Andel S-vælgere = 0,293, n=1008 Et 95% konfidensinterval for andelen af S-vælgere:

1.6 Faktorer, der påvirker bredden af konfidensintervaller Formlen igen: Bredden påvirkes af to faktorer: Tallet, der ganges med Standardfejlen

1.6.1 Tallet, der ganges med Afgøres af konfidensniveauet Kan principielt fastsættes, som man vil Dvs. under vores kontrol Konventionelt 95% eller 99% Jo højere, jo større tal, og dermed jo bredere konfidensinterval Mao.: Jo mere sikker man vil være, jo flere værdier er mulige, og jo mindre præcist kan vi udtale os

1.6.2 Standardfejlen Formlen igen: To elementer heri: Den estimerede populationsstandardafvigelse n

1.6.2.1 Standardafvigelsen Populationsparameter  kan ikke ændres Estimeres fra stikprøven Formlen igen:

1.6.2.2 n Under vores kontrol! Da , kræver dobbelt præcision (dvs. halv bredde på intervallet = halvering af standardfejlen) 4-dobbelt n (for et givet konfidensniveau):

1.6.2.3 Eksemplet igen 4-dobling af antallet af respondenter i Epinionmålingen: 1008  4032 95% konfidensinterval for S-andelen: Dvs. ca. et spænd på 0,028 (= halvdelen af første interval)

1.7 Onsdagens Epinion – nu med usikkerhed Parti Stemmeandel i % Usikkerhed Socialdemokr. 29,3 ±2,8 Radikale 6,3 ±1,5 Konservative 5,1 ±1,4 SF 11,6 ±2,0 Liberal Alliance 4,3 ±1,3 KD 0,7 ±0,5 DF 12,9 ±2,1 Venstre 23,4 ±2,6 Enhedslisten 6,4

2 Valgsystemet 2 bærende principper bag det danske valgsystem: Partierne skal have nogenlunde lige så stor en andel af mandaterne i Folketinget, som de har fået stemmer på landsplan (proportionalitet) De enkelte folketingsmedlemmer skal have en lokal base – de skal være knyttet til et bestemt geografisk sted

2 Valgsystemet Geografi – 3 niveauer: 2 typer af mandater: 3 landsdele: Hovedstaden, Sjælland-Syddanmark og Midtjylland-Nordjylland 10 storkredse: Københavns (15), Københavns Omegns (12), Nordsjællands (10) og Bornholms (2); Sjællands (20), Fyns (12) og Sydjyllands (18); Østjyllands (18), Vestjyllands (13) og Nordjyllands (15) Storkredse 92 opstillingskredse 2 typer af mandater: 135 Kredsmandater: Bundet til en bestemt storkreds 40 Tillægsmandater: Bruges til udjævning – bundet til en bestemt landsdel (10, 16, 14)

2 Valgsystemet Mandatfordelingen foregår i 6 trin: Fordeling af kredsmandater, efter d’Hondts divisorrække Kontrol af spærregrænsepassage Overordnede nationale fordeling af mandater, efter største brøks metode Tillægsmandater fordeles på partier inden for landsdelene, efter Sainte-Laguës divisorrække Tillægsmandater fordeles på partier inden for storkredsene, efter danske divisorrække Fordeling af mandater på personer

2 Valgsystemet 1 Fordeling af kredsmandater: Inden for hver storkreds divideres alle partiernes stemmetal med tallene 1, 2, 3, 4 osv., og kredsmandaterne fordeles til de højeste kvotienter 2 Kontrol af passage af spærregrænsen: = adgang til tillægsmandater 3 regler: Enten… Mindst et kredsmandat I to af tre landsdele mindst lige så mange stemmer som gennemsnitlige antal gyldige stemmer pr. kredsmandat 2% af de afgivne stemmer på landsplan

2 Valgsystemet 3 Overordnede nationale mandatfordeling: Stemmetallene for de partier, der er over spærregrænsen lægges sammen og divideres med antal mandater til fordeling (oftest alle 175) Det herved fremkomne tal (19593,47 i 2007) divideres så op i alle partiernes stemmetal De herved fremkomne hele tal angiver antal mandater til hvert parti Hvis der er mandater til overs, fordeles de til partierne efter størrelsen af decimalbrøkerne

2 Valgsystemet 4 Tillægsmandaternes fordeling I – På partier inden for landsdelene: Partiernes stemmetal i hver landsdel divideres med tallene 1, 3, 5, 7 osv. Der ses så bort fra lige så mange kvotienter, som partierne har opnået kredsmandater Blandt de resterende kvotienter fordeles tillægsmandaterne, indtil hver landsdel og hvert parti har fået opfyldt deres kvoter

2 Valgsystemet 5 Tillægsmandaternes fordeling II – På partier inden for storkredsene: Partierne stemmetal i hver storkreds divideres med tallene 1, 4, 7, 10 osv. Der ses så bort fra lige så mange kvotienter, som partierne har opnået kredsmandater Blandt de resterende kvotienter fordeles tillægsmandaterne, indtil hvert parti har fået opfyldt sin kvote i den pågældende landsdel

2 Valgsystemet 6 Fordeling af mandater på personer: Afhænger af opstillingsformen: Sideordnet (m/u nominering) Kredsvis (Kredsvis med) Partiliste Sideordnet: Hver kandidat får i hver kreds egne personlige stemmer + en andel af partistemmerne i kredsen, som svarer til deres andel af de personlige stemmer i kredsen. Mandaterne fordeles i rækkefølgen efter disse stemmetal Partiliste: Mandaterne fordeles efter rækkefølgen på listen – med mindre en kandidat ’sprænger listen’ og får flere stemmer end fordelingstallet (partiets samlede stemmetal i kredsen/antal mandater+1) – så er man valgt umiddelbart