23. januar 2018 Kasper Bjering Søby Jensen Roskilde Katedralskole

Præsentationer af emnet: "23. januar 2018 Kasper Bjering Søby Jensen Roskilde Katedralskole"— Præsentationens transcript:

1 Fra Konkret til Abstrakt i overgangen til gymnasiet understøttet af IT-værktøjer
23. januar 2018 Kasper Bjering Søby Jensen Roskilde Katedralskole Faglige Overgange i Matematik, Roskilde Kommune

2 IT-værktøjer i undervisningen
To vigtige distinktioner: Kapacitetsforstærker vs Kompetenceerstatter Opgaveløser vs Didaktisk/pædagogisk værktøj

3 Begrebet: Funktion 𝑓:𝑋→𝑌 er et medlem af mængden:
𝑓∈℘ 𝑋×𝑌 ∀𝑥∈𝑋∃𝑦∈𝑌: 𝑥,𝑦 ∈𝑓∧ 𝑥, 𝑦 1 , 𝑥, 𝑦 2 ∈𝑓⇒ 𝑦 1 = 𝑦 2 En funktion 𝑓 er en relation mellem to mængder 𝑋 og 𝑌 hvorom gælder, at ethvert element i 𝑋 står i relationen 𝑓 til ét og kun ét element i 𝑌.

4 Begrebet: Funktion 𝑋: Mængden af deltagere i det igangværende møde
𝑌: ℕ (de naturlige tal) 𝑓: ”…født i årstallet…” Alle deltagere i mødet har et fødselsår. Ingen har mere end ét fødselsår (men flere kan have det samme…). Ex.: Kasper Bjering 𝑓 1980 eller (Kasper Bjering, 1980) eller 𝑓 Kasper Bjering =1980 Men her ser de færreste elever at begrebet ”funktion” spiller en rolle.

5 Begrebet: Funktion 𝑋: ℝ (de reelle tal) 𝑌: ℝ (de reelle tal)
𝑓: 𝑥↦2⋅𝑥+5 Alle tal står i relation til et tal (plus/gange er fuldstændigt). Ingen reelle tal står i relation til mere end et tal (plus/gange er entydigt). Ex.: 4𝑓13 eller (4,13) eller 𝑓 4 =13 Her kan eleverne godt genkende begrebet ”funktion”.

6 Når eleverne ankommer 𝑦=2⋅𝑥+5 ↓ 𝑓 𝑥 =2⋅𝑥+5
𝑦=2⋅𝑥+5 ↓ 𝑓 𝑥 =2⋅𝑥+5 For eleverne er begrebet ”funktion” ofte knyttet til skiftet i notation fra ”y=” til ”f(x)=” For eleverne er begge dele tæt knyttet til grafen – den rette linje. Ja, faktisk er de nærmest bare en kryptisk tekstliggørelse af linjen i koordinatsystemet.

7 Tre abstraktioner NOTATION: Fra 𝑓 𝑥 =2⋅𝑥+5 til 𝑓 𝑥 =𝑎⋅𝑥+𝑏
VARIATION: 𝑓 𝑥 =𝑏⋅ 𝑎 𝑥 , 𝑓 𝑥 =𝑏⋅ 𝑥 𝑎 , 𝑓 𝑥 =𝑎⋅ 𝑥 2 +𝑏⋅𝑥+𝑐 BEGREB: En funktion er et objekt, ikke en proces.

8 Fra konkret til abstrakt notation
𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑥+𝑏 Vi lærer eleverne at sådan ser en lineær funktion ud, samt at 𝑥 og 𝑦 er variable at 𝑎 og 𝑏 er konstanter. At 𝑓(2) betyder ”sæt 2 på 𝑥’ plads og regn ud”…

9 Fra abstrakt til konkret notation
𝑦= 3⋅𝑥+5 𝑦= 6⋅𝑥−7 𝑦=−4⋅𝑥+2 𝑦=−8⋅𝑥−3

10 SKYDEREN - træning af abstrakt notation.
Den grundlæggende pointe om ”den variable konstant” kan fremhæves. Det kan ses at der knytter sig generelle egenskaber til konstanterne.

11 Generelle (abstrakte) egenskaber
Vi vil gerne kunne opstille generelle udsagn om 𝒇 𝒙 =𝒂⋅𝒙+𝒃: Hvis 𝑥 vokser med Δ𝑥, så vokser 𝑦 med 𝑎⋅Δ𝑥. Grafen for 𝑓 skærer andenaksen i punktet (0,𝑏). 𝑓 har nulpunktet 𝑥=− 𝑏 𝑎 , for 𝑎≠0. Grafen for 𝑓 netop ét punkt hvor 𝑥=𝑦, nemlig 𝑏 1−𝑎 , 𝑏 1−𝑎 , for 𝑎≠1. Grafen for 𝑓 skærer grafen for 𝑔 𝑥 =𝑐⋅𝑥+𝑑 ved 𝑥= 𝑑−𝑏 𝑎−𝑐 , for 𝑎≠𝑐.

12 DIREKTE NOTATION Vi vil gerne udvikle et generelt (abstrakt) funktionsværdibegreb. Giver mulighed for formler som f.eks.: 𝑎= 𝑓 𝑥 2 −𝑓 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑓 𝑥+1 =𝑓 𝑥 +𝑎

13 DIREKTE NOTATION Flytter notationen fra ”kommando til proces” til ”objekt i sig selv”. Træner eleven til den mere abstrakte forståelse af begrebet ”funktionsværdi”

14 CAS-BEREGNINGER CAS-værktøjets evne til at regne symbolsk kan bruges til at understøtte resultaterne… og udlede dem.

15 VARIATION – Andre typer funktioner
Skyderen gør det nemt og enkelt for eleverne at ”komme i gang” med andre funktionstyper.

16 BEGREBSGENERALISERING – proces til objekt
Den grafiske behandling af funktioner gør det nemt at behandle meget bred vifte af funktioner. Gør det nemt tidligt at tale om en funktion som et objekt.

17 BEGREBSGENERALISERING – proces til objekt
Den grafiske behandling af funktioner gør det nemt at behandle meget bred vifte af funktioner. Gør det nemt tidligt at tale om en funktion som et objekt.

18 Tak for opmærksomheden
Spørgsmål besvares gerne i pausen og under gruppearbejdet.