KM2: F51 Kvantitative metoder 2 Den simple regressionsmodel 19. februar 2007

KM2: F52 Program for i dag: Regressionsmodel med en forklarende variabel (W.2.3-5) –Variansanalyse og ”goodness of fit” –Enheder og funktionel form af variabler i modellen –Antagelser for den simple lineære regressionsmodel: SLR –Statistiske egenskaber: Middelret estimation

KM2: F53 Egenskaber ved OLS Den afhængige variabel y dekomponeres i to komponenter: Forudsagte værdi: +Residualet: =Faktisk observation: Positive residualer: Modellens forudsagte værdi for observation i ligger under den faktiske observation af y Negative residualer: Modellens forudsagte værdi for observation i ligger over den faktiske observation af y Bemærk: Residual og fejlled er to forskellige ting.

KM2: F54 Egenskaber ved OLS (fortsat) Den totale variation kan også dekomponeres i to dele: SST=SSE+SSR –”Total sum of squares” –”Explained sum of squares” –”Residual sum of squares”

KM2: F55 Egenskaber ved OLS (fortsat) Goodness of fit: På baggrund af variansanalysen kan man definere et mål, determinationskoefficienten R 2: Mål for, hvor meget af variationen, modellen (den forklarende variabel) forklarer. Hvilke værdier kan R 2 antage? Hvad kan R 2 bruges til?

KM2: F56 Funktionel form Ikke altid rimeligt at antage en lineær relation mellem variablerne Nemt at lade ikke-lineære transformationener af variablerne indgå (så længe modellen stadig er lineær i parametrene) Man skal dog være opmærksom på, at fortolkningen af parametrene ændrer sig!

KM2: F57 Funktionel form (fortsat) I eksemplet med timelønnen benytter man ofte følgende model ”Fortolkningen” af parameteren : –Den relative ændring i lønnen ved ét års ekstra uddannelse (givet alt-andet-lige betingelser) – er approximativt det procentvise afkast af et års mere uddannelse –Samme afkast uanset uddannelsesniveau!

KM2: F58 Funktionel form (fortsat) ModelAfhængig variabel Forklarende variabel HældningElasti- citet y mht. x Lineær yx Log-lin log(y)x Lin-log ylog(x) Log-lineær log(y)Log(x)

KM2: F59 Funktionel form (fortsat)

KM2: F510 Funktionel form (fortsat) Definitionen på den lineære regressionsmodel er at modellen er lineær i parametrene … ikke nødvendigvis i variablerne. Er følgende modeller lineære regressionsmodeller? Kan de gøres lineære?

KM2: F511 Hvornår er OLS middelret? Definition (se appendix C.2 side ) –Se på en given estimator (”regneregel”) b –En estimator b af er middelret (unbiased) hvis for alle værdier af Middelret er en statistisk egenskab ved estimatoren Hvorfor er det vigtigt at estimatoren er middelret?

KM2: F512 Middelret.. (fortsat) Antagelser: –SLR.1 (lineær i parametrene): Den afhængige variabel y kan beskrives ved følgende model: –SLR.2 (tilfældig stikprøve): Vi har en tilfældig stikprøve (y i,x i ) i=1,..,n fra populationen –SLR.3 (variation i x): I data må ikke alle x’erne være lig den samme værdi. –SLR.4 (betinget middelværdi af fejlled):

KM2: F513 Middelret.. (fortsat) Teorem 2.1 (OLS er middelret) Under betingelserne SLR.1-SLR.4 er OLS- estimatoren middelret: Bevis for teorem 2.1 (tavlegennemgang)

KM2: F514 NB’er fra denne forelæsning Middelret estimation betyder ikke, at det konkret beregnede estimatet vil være lig den ”sande” værdi (kun at middelværdien af estimatoren er lig den sande værdi). SLR.1-4 er nødvendige og tilstrækkelige for middelret estimation: –Antagelse omkring variansen på fejlleddet er ikke nødvendig; –Nogen bestemt fordeling, fx normalitet, er heller ikke krævet.

KM2: F515 Næste gang Onsdag om resten af W.2 Mere om statistiske egenskaber: –Variansen på OLS estimatoren –Homoskedasticitet vs. heteroskedasticitet –Estimation af variansen på OLS estimatoren Regressionslinie gennem origo.