Statistik Lektion 8 Test for ens varians

F fordelingen F-fordelingen er fordelingen af brøken af to c2-fordelte stokastiske variable, der er uafhængige og hver er divideret med antallet af dens frihedsgrader. Antag c21 og c22 er uafhængige og c2-fordelte med hhv k1 og k2 frihedsgrader. Definer Da følger F en F-fordelingen med k1 og k2 frihedsgrader.

F-fordeligen på hovedet Antag c21 og c22 er uafhængige og c2-fordelte med hhv k1 og k2 frihedsgrader. Definer Så følger F en F-fordeling med k1 og k2 frihedsgrader. Vi har Dvs. F-1 følger en F-fordelingen med k2 og k1 frihedsgrader.

F-tabellen Critical Points of the F Distribution Cutting Off a Right-Tail Area of 0.05 k1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k2 1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 F-fordelingen med 7 og 12 frihedsgrader . 7 . 6 0.05 . 5 F ) . 4 f ( . 3 0.05 . 2 . 1 . F 1 2 3 4 5 3.01 1/F12,7,0.05 = 0.278 F7,12,0.05 = 3.01 Når man skal finde det venstre kritiske punkt, kan man bruge følgende sammenhæng:

Kritiske punkter i F fordelingen F(6, 9),  = 0.10 Det højresidet kritiske punkt: F6,9,0.05 = 3.37 Det tilsvarende venstresidet punkt: F-fordeling med 6 og 9 frihedsgrader . 7 0.05 . 6 0.90 . 5 ) F . 4 ( f . 3 0.05 . 2 . 1 . 1 2 3 4 5 F F6,9,0.95 = 1/F9,6,0.05 = 0.2439 F6,9,0.05 = 3.37

Stikprøve-variansen i to grupper Antag vi har to normalfordelte populationer. Vi har n1 observationer fra population 1. Lad s21 betegne stikprøve-variansen for pop. 1. Lad s21 betegne populations-variansen for pop.1 Vi har fra tidligere: Tilsvarende for stikprøven fra population 2. c2-fordelt med n1-1 frihedsgrader

Forholdet mellem to stikprøve-varianser Hvis de to stikprøver er uafhængige har vi: Dvs. Det kan omskrives til og

Test for ens varians 1 = 2 Teststørrelsen til test for ens populations varians i to normalfordelte populationer er givet ved: I: Tosidet test: 1 = 2 H0: 1 = 2 H1: 2 II:Ensidet test 12 H0: 1  2 H1: 1  2

Eksempel Kritiske værdier: Hypoteser: Signifikansniveau: a = 0.10 Population 1 Population 2 Teststørrelse: H0 kan ikke afvises på signifikans-niveau 10%, da teststørrelsen ikke er større end 3.28 eller mindre end 0.35.

Eksempel i R Start med at definere alle variable > n1 = 13; s1 = 0.12; n2 = 9; s2 = 0.11 Hefter kan vi udregne teststørrelsen > f = s1^2/s2^2 > f [1] 1.190083 De kritiske værdier finder vi vha. > qf(c(0.05,0.95),n1-1,n2-1) [1] 0.3510539 3.2839390 Da 1.19 ligger mellem de to kritiske værdier kan vi ikke afvise H0.

Test vha. P-værdi Antag: F ~ Fn1-1,n2-1 Hvis F>1, så er P-værdien 2·P(F > F) I R: > 2*pf(f, n1-1, n2-1, lower.tail=F) [1] 0.8277536 Hvis F<1, så er P-værdien 2·P(F < F) > 2*pf(f, n1-1, n2-1, lower.tail=T) = P-værdi = 2· F P-værdi = 2· F

Vigtigste fordelinger i kurset Binomial B(n,p) Normal N(m,s2) c2 c2(n) t t(n) F F(k1,k2)