Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel1 Økonometri 1 Inferens i den multiple regressionsmodel 3. marts 2003

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 2 Inferens i den multiple regressionsmodel Resultater om OLS med et endeligt antal observationer (kap. 4): Normalitetsantagelse. Mere generelle antagelser: Asymptotiske resultater for OLS: (kap. 5). Redskab: Monte Carlo eksperimenter (se noten). I dag:  Endeligt antal observationer: Test af en lineær restriktion på flere koefficienter (t-test): Kap. 4.4 Test af flere lineære restriktioner (F-test): Kap Rapportering af estimationsresultater: Kap  Konsistens af OLS: Asymptotiske resultater: Kap. 5.1.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 3 Inferens: Endelig stikprøve, normalfordelte fejlled t-testet for er givet ved og fordelt som under nulhypotesen. Konfidensinterval: Givet signifikansniveau,, fx 5 %. Så er 100- % konfidensintervallet givet ved: Konstrueres intervallet således vil det i 100- % af udfaldene rumme den sande værdi. Nulhypoteser om værdier udenfor vil således blive afvist.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 4 Generel lineær restriktion Nulhypotese på linearkombination af koefficienter: Involverer flere koefficienter, men stadig kun en restriktion (et lighedstegn). Ex. Produktionsfunktion af Cobb-Douglas typen med arbejdskraft (L), kapital (K) og uobserverbare faktorer (U): I log-transformerede størrelser: Test antagelse om konstant skalaafkast:

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 5 Generel lineær restriktion (fortsat) Hypotesen er af formen: ”Linearkombination af koefficienter lig med konstant”. Estimere, men hvad med ? Omparameterisere modellen: OLS af I denne parameterisering er hypotesen direkte en restriktion på koefficienten til : Kald den fx Test restriktionen vha. t-stat. på Hvis CLM opfyldt så eksakt t-fordelt.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 6 Flere lineære restriktioner Et fælles test af flere lineære hypoteser: F-testet. Model med tre forklarende variabler:  Ex.:  Generelt format:  q lineære restriktioner på koefficienterne i den lineære model.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 7 Flere lineære restriktioner (fortsat) Alternativhypotesen: Afvis nulhypotese blot én af q restriktioner ikke holder. Restrikteret (r) vs. urestrikteret model (ur):  Ex.: Restrikterede modeller: Lineære restriktioner: Restrikteret model er lineær i parametrene: Estimeres ved OLS.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 8 Flere lineære restriktioner (fortsat) Test af flere lineære restriktioner: F-testet. Tæller altid større end eller lig nul: Restrikteret model kan ikke tilpasse data bedre end urestrikteret model. Antal frihedsgrader i tæller: Antal restriktioner, q Antal frihedsgrader i nævner: n- antal regressorer i urestrikteret model. Helt generelt format for F-testet.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 9 Flere lineære restriktioner (fortsat) Wooldridge omtaler også ”R-squared” form af testet: Bør kun benyttes med megen varsomhed! OK så længe restrikteret model har samme venstreside som urestrikteret model. Mod-ex.: C-D produktionsfunktion med CRS. Omskriv: Indsæt restriktionen: Bemærk: Ny venstreside. Brug det generelle format for F-testet.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 10 Flere lineære restriktioner: Eksakt inferens Under CLM antagelser følger F-testet en eksakt F- fordeling: Fordeling findes i Tabel G.3. For en restriktion og to-sidet alternativ: Ækvivalent med t-test: Men F-test af fælles hypotese på flere koefficienter kan godt give andet resultat end individuelle t-test. Ex.: Fra Ugeseddel 3: Engelkurven.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 11 Rapportering af estimationsresultater Estimationsresultater:  Angiv afhængig variabel. , SSR rapporteres  Standardfejl vs. t-værdier  Ligningsform vs. Tabelform Prøv det: Skriftlige resumeer fra øvelsestimerne på denne form. PAUSE

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 12 Eksakte versus asymptotiske egenskaber Under antagelserne MLR.1-4 er OLS en middelret estimator.  Ved uafhængige trækninger af datasæt af n observationer vil OLS –estimatoren i gennemsnit ramme den sande parameterværdi,.  Gælder for enhver størrelse n af datasættet Under CLM-antagelserne MLR.1-6 kender vi hele fordelingen: Eksakt.  t-test følger t-fordelingen, F-test følger F-fordelingen.  Gælder for enhver størrelse n af datasættet Nu: Se på egenskaber for OLS når vi lader

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 13 Konsistens: Generelt Wooldridge appendix C.3 definerer konsistens af en estimator, jf TSØ kap. 8. Estimatoren konvergerer i sandsynlighed mod den sande værdi: Egenskab for estimatoren når antallet af observationer øges mod uendeligt. Minimalkrav til en ”fornuftig” estimator.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 14 Konsistens: Generelt (fortsat) Store tals lov: i.i.d. følge med middelværdi. Så gælder Anvendes på en lang række størrelser beregnet ud fra data: Gennemsnit, varianser, kovarianser mv. Egenskaber ved plim: 1. 2.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 15 Konsistens: Generelt (fortsat) Middelret estimator er ikke nødvendigvis konsistent: Præcisionen bliver ikke nødvendigvis bedre når Men: Hvis variansen af en middelret estimator går mod nul i sandsynlighed når, så gælder at Ex. Estimation af middelværdi af i.i.d. følge med middelværdi og konstant varians :  Gennemsnittet af n observationer:  Gennemsnit af første og n’te observation:

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 16 Konsistens: OLS Teorem 5.1: Konsistens af OLS estimatoren: Under antagelserne:  MLR.1: Lineær model:  MLR.2: Tilfældigt udvalg af  MLR.3: Betinget middelværdi nul:  MLR.4: Ingen perfekt multikollinearitet: er non-singulær. Så er OLS-estimatoren konsistent for Bevis: Tavlegennemgang. Konsistens behøver svagere betingelse end MLR.3:

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 17 Konsistens: OLS Hvis fejlleddet er korreleret med en eller flere regressorer vil OLS være inkonsistent: Inkonsistensen eller den ”asymptotiske bias” fx i er givet ved Per konstruktion forsvinder problemet ikke ved at få flere data fra samme population. Vil se på metoder til at håndtere inkonsistens i kap. 15.

Økonometri 1: Inferens i den multiple regressionsmodel 18 Næste gang: Asymptotisk normalitet og inferens i store datasæt (kap. 5.2)  t-test, F-test  Lagrange multiplikator (LM) test Asymptotisk efficiens af OLS (kap. 5.3). Husk:  Ingen forelæsning på torsdag.  At checke de præcise oplysninger om din indkomst og dine huslejeudgifter i januar måned til spørgeskemaet ved øvelserne i denne uge.