Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 1. oktober 2004

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 2 Dagens program Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4):  Normalitetsantagelse (MLR.6).  Test af en enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel. Asymptotiske resultater for OLS: (kap. 5).  Konsistens  Asymptotisk normalitet og efficiens  Eksempel: Monte Carlo eksperiment med uniformt fordelte fejlled (asynorm_uni.sas). Test af flere lineære restriktioner (kap. 4.5 og 5.2).

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 3 Generel lineær restriktion Nulhypotese på linearkombination af koefficienter: Involverer flere koefficienter, men stadig kun en restriktion (et lighedstegn). Ex. Produktionsfunktion af Cobb-Douglas typen med arbejdskraft (L), kapital (K) og uobserverbare faktorer (U): I log-transformerede størrelser: Test antagelse om konstant skalaafkast:

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 4 Generel lineær restriktion (fortsat) Hypotesen er af formen: ”Linearkombination af koefficienterne er lig med konstant”. Estimere, men hvad med ? Omparameterisere modellen: OLS af I reparameterisering er hypotesen direkte en restriktion på koefficienten til : Kald den fx Test restriktionen vha. t-stat. på Hvis CLM opfyldt så eksakt t-fordelt.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 5 Eksakte versus asymptotiske egenskaber Under antagelserne MLR.1-4 er OLS en middelret estimator.  Ved uafhængige trækninger af datasæt af n observationer vil OLS–estimatoren i gennemsnit ramme den sande parameterværdi,.  Gælder for enhver størrelse n af datasættet Under CLM-antagelserne MLR.1-6 kender vi hele fordelingen eksakt:  t-test følger t-fordelingen  For enhver størrelse n af datasættet MLR.6: Normalitet er restriktivt. Nu: Se på egenskaber for OLS når vi lader

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 6 Konsistens: Generelt Wooldridge appendix C.3 definerer konsistens af en estimator, jf TSØ kap. 8. Estimatoren konvergerer i sandsynlighed mod den sande værdi: Egenskab for estimatoren når antallet af observationer øges mod uendeligt. Minimalkrav til en ”fornuftig” estimator.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 7 Konsistens: Generelt (fortsat) Store tals lov: i.i.d. følge med middelværdi. Så gælder Anvendes på en lang række størrelser beregnet ud fra data: Gennemsnit, varianser, kovarianser mv. Egenskaber ved plim: 1. 2.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 8 Konsistens: Generelt (fortsat) Middelret estimator er ikke nødvendigvis konsistent: Præcisionen bliver ikke nødvendigvis bedre når Men: Hvis variansen af en middelret estimator går mod nul i sandsynlighed når, så gælder at Ex. Estimation af middelværdi af i.i.d. følge med middelværdi og konstant varians :  Gennemsnittet af n observationer:  Gennemsnit af første og n’te observation:

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 9 Konsistens: OLS Teorem 5.1: Konsistens af OLS estimatoren: Under antagelserne:  MLR.1: Lineær model:  MLR.2: Tilfældigt udvalg af  MLR.3: Betinget middelværdi nul:  MLR.4: Ingen perfekt multikollinearitet: er non-singulær. Så er OLS-estimatoren konsistent for Bevis: Tavlegennemgang. Konsistens kan vises under svagere betingelse end MLR.3:

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 10 Konsistens: OLS Hvis fejlleddet er korreleret med en eller flere regressorer vil OLS være inkonsistent: Inkonsistensen (den ”asymptotiske bias”) i den simple lineære regressionsmodel er givet ved Per konstruktion forsvinder problemet ikke ved at få flere data fra samme population. Vil se på metoder til at håndtere inkonsistens i kap. 15.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 11 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt Konsistens af OLS i store datasæt under MLR.1-4: Minimumskrav opfyldt. Inferens: Vi behøver mere end det. Antager nu:  MLR.5: Homoskedasticitet:  Men ikke MLR.6: Normalitet af u i Normalfordelte fejlled er alt for stærk antagelse i en række realistiske problemstillinger:  Diskrete fordelinger: Heltallige udfald, fx antal medlemmer af en bestyrelse.  Skæve fordelinger: Asymmetriske aktieafkast.  Fordelinger med ”tunge” haler: Aktieafkast (outliers).

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 12 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt Teorem 5.2: Asymptotisk normalfordeling af OLS estimatoren Antag: Gauss-Markov antagelserne MLR.1-5. 

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 13 Asymptotisk normalfordeling for OLS: I praksis Standardiserede OLS estimater er asymptotisk standardnormalfordelt: Hvad er ”asymptotisk”?  Afhænger bl.a. af, hvor meget u’s fordeling afviger fra normalfordelingen: Ikke hårde regler.  N(0,1) >< t n-k-1 : Ikke vigtigt (for rimeligt store n og moderate værdier af k).

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 14 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Monte Carlo experiment Lad os designe et lille eksperiment, hvor MLR.1-5 er overholdt (faktisk er u uafhængige af x her): Lineær model, ingen eksakt multikollinearitet, u har middelværdi nul og konstant varians. Men u trækkes fra en uniform (eller lige) fordeling:  Kontinuert fordeling fx på intervallet [-1,1].  Konstant tæthed f(u)=0.5 over intervallet.  Udfaldsrummet begrænset >< normalfordeling. Resultat af eksperimentet for forskellige n: SAS

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 15 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Standardfejl OLS standardfejlen: Asymptotik: Komponenter i formlen: Betyder at går mod nul som 1/n, standardfejlen går mod nul som

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 16 Asymptotisk efficiens af OLS estimatoren Under Gauss-Markov antagelserne er OLS asymptotisk efficient. Teorem 5.3: Under Gauss-Markov antagelserne har OLS den mindste asymptotiske varians blandt estimatorer, der løser ligningerne OLS:

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 17 Oversigt over OLS estimatorens egenskaber AntagelserEksaktAsymptotisk MLR1- MLR4 Middelret (Teorem 3.1) Konsistent (Teorem 5.1) MLR1- MLR5 BLUE (Teorem 3.4) Asymptotisk efficiens (Teorem 5.3) MLR1- MLR5 +MLR6 Normal fordelt (Teorem 4.1) Asymptotisk Normalfordelt (Teorem 5.2)

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 18 Flere lineære restriktioner Et fælles test af flere lineære restriktioner: F-testet. Model med tre forklarende variabler:  Ex. på nulhypoteser  Generelt format:  q lineære restriktioner på koefficienterne i den lineære model.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 19 Flere lineære restriktioner (fortsat) Alternativhypotesen: Afvis nulhypotese blot én af q restriktioner ikke holder. Restrikteret (r) vs. urestrikteret model (ur):  Ex.: Restrikterede modeller: Lineære restriktioner: Restrikteret model er lineær i parametrene: Estimeres ved OLS.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 20 Flere lineære restriktioner (fortsat) Test af flere lineære restriktioner: F-testet. Tæller altid større end eller lig nul: Restrikteret model kan ikke tilpasse data bedre end urestrikteret model. Antal frihedsgrader i tæller: Antal restriktioner, q Antal frihedsgrader i nævner: n- antal regressorer i urestrikteret model. Helt generelt format for F-testet.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 21 Flere lineære restriktioner (fortsat) Wooldridge omtaler også ”R-squared” form af testet: Bør kun benyttes med stor varsomhed! OK så længe restrikteret model har samme venstreside som urestrikteret model. Mod-ex.: C-D produktionsfunktion med CRS. Omskriv: Indsæt restriktionen: Bemærk: Ny venstreside. Brug det generelle format for F-testet.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 22 Flere lineære restriktioner: Eksakt inferens Under CLM antagelser følger F-testet en eksakt F- fordeling: Fordeling findes i Tabel G.3. For en restriktion og to-sidet alternativ: Ækvivalent med t-test: Men F-test af fælles hypotese på flere koefficienter kan godt give andet resultat end individuelle t-test. Ex.: Fra Ugeseddel 3: Engelkurven.