Opgave 60 Erhvervsøkonomi / Managerial Economics ”Omkostninger - Multipel Regression - Fejl i Data” Kjeld Tyllesen

O p g a v e t e k s t Til beregninger En virksomhed, der fremstiller produktionsanlæg, har for 20 leverede anlæg foretaget en opgørelse over hvert anlægs produktionsomkostninger, energiforbruget af anlægget, samt antal fuldtidsansatte, der varetager driften af det pågældende anlæg. Sammenhørende værdier for anlæg, produktionsomkostninger i mio. kr., energiforbrug i Megawatt (MW) samt antal fuldtidsansatte er følgende: Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Produktionsomkost- ninger i million kr. Antal fuldtidsansatte Observationer Produktionsomkost- ninger i million kr. Energiforbrug (MW) Antal fuldtidsansatte 1 1,11 4 5 2 1,15 3 1,23 7 1,27 8 6 1,35 10 1,63 17 1,75 20 1,79 21 9 1,91 24 11 2,07 28 12 2,43 37 13 2,51 39 14 2,47 38 15 2,95 50 16 2,63 42 3,15 51 18 3,59 55 19 3,75 72 4,11 76 Til opgavetekst Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

O p g a v e t e k s t Til opgavetekst I vedlagte bilag (se de sidste 4 slides) er gengivet resultaterne af en regressionsanalyse, der er udført i Excel ved anvendelse af en multiplikativ model. Modellens udformning og uddata er anført i bilaget og er udført på basis af ln(observerede værdier). Spørgsmål Beregn og forklar eventuelle ændringer i modellens estimat for ”Produktionsomkostninger i mio. kr.”, hvis det nu viser sig, at der er fejl i Observation 5 og (Energiforbrug (MW); Antal fuldtidsansatte) rettelig bør ændres fra (10; 6) til (11; 7). Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

𝑀: 𝑙𝑛 𝑌 𝑖 ~𝑁 𝜇 𝑖 , 𝜎 2 𝑖=1,…,𝑛=20;𝑠.𝑢. 𝜇 𝑖 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 𝑖1 + 𝛽 2 𝑥 𝑖2 Oplysningerne i regressionsudskriften kan betragtes med følgende lineære multiple regressionsmodel: Til opgavetekst 𝑀: 𝑙𝑛 𝑌 𝑖 ~𝑁 𝜇 𝑖 , 𝜎 2 𝑖=1,…,𝑛=20;𝑠.𝑢. 𝜇 𝑖 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 𝑖1 + 𝛽 2 𝑥 𝑖2 hvor lnYi = naturlige logaritme af produktionsomkostninger xi1 = naturlige logaritme af energiforbrug xi2 = naturlige logaritme af antal ansatte Vi antager, at lnYi er normalfordelt, lnYi har middelværdi μi, som er en lineær funktion af x1 og x2, ln Yi har konstant varians σ2, lnYi’erne er stokastisk uafhængige der er ingen multikollinearitet mellem x1 og x2 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Af udskriften (se slide 11; grønt) fås estimaterne 𝛽 0 =−1,209532789 Til opgavetekst Af udskriften (se slide 11; grønt) fås estimaterne 𝛽 0 =−1,209532789 𝛽 1 = 0,189820948 𝛽 2 = 0,621447461 Og heraf den estimerede model 𝜇 𝑖 =−1,209532789+0,189820948 𝑥 1 +0,621447461 𝑥 2   For det første skal modellen regnes om, hvilket der dog i sagens natur ikke er noget krav eller ønske om her, men det er i sig selv en vigtig pointe. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Produktionsomkostninger i mio. kr. = Fra bilag fremgår, at den estimerede additive model er fremkommet med udgangspunkt i en multiplikativ model, der er angivet som: Produktionsomkostninger i mio. kr. = A * Energiforbrug (MW)B * Antal ansatteC   Til opgavetekst Med den estimerede model kan vi nu udtrykke sammenhængen i mio. kr. til Produktionsomkostninger = 0,298337*Energiforbrug(MW)0,189821*Antal ansatte0,621447 De samlede produktionsomkostninger kan man betragte som en gennemsnitlig grundomkostning på 0,298337 og en output-elasticitet (ΔInput = 1% => Δprod.omk. = ??%) for energiforbrug (MW) på 0,189821 og for Antal ansatte på 0,621447. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

For den oprindelige observation nr. 5 får man, at Til opgavetekst For den oprindelige observation nr. 5 får man, at Produktionsomkostninger i mio. kr. = 0,298336633 * 100,189820948 * 60,621447461 = 1,4064. Hvis inddata til observation nr. 5 rettelig bør være (11, 7) får man i stedet, at Produktionsomkostninger i mio. kr. = 0,298336633 * 110,189820948 * 70,621447461 = 1,57505, hvilket er en stigning i output på 12 % (1,4064 => 1,57505) på grundlag af en stigning i input på 10% (10 => 11) i observeret Energiforbrug og 16 2/3 % (6 => 7) i observeret Antal ansatte. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Inddata før omskrivning ved hjælp af ln-funktionen: Til opgavetekst Bilag, slide 10 – 14 Regressionsanalyse   Produktionsomkostninger i million kroner = A * Energiforbrug (MW)B * Antal ansatteC Analysen er udført ved først at tage den naturlige logaritme, "ln", af de observerede værdier og derefter gennemføre regressionsanalysen på dette grundlag. Uddata herfra er angivet nedenfor. Inddata før omskrivning ved hjælp af ln-funktionen: Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Produktionsomkost- ninger i million kr. Antal fuldtidsansatte Observationer Produktionsomkost- ninger i million kr. Energiforbrug (MW) Antal fuldtidsansatte 1 1,11 4 5 2 1,15 3 1,23 7 1,27 8 6 1,35 10 1,63 17 1,75 20 1,79 21 9 1,91 24 11 2,07 28 12 2,43 37 13 2,51 39 14 2,47 38 15 2,95 50 16 2,63 42 3,15 51 18 3,59 55 19 3,75 72 4,11 76 Til opgavetekst Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Regression Statistics SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,991434439 R Square 0,982942247 Adjusted R Square 0,980935452 Standard Error 0,056130066 Observations 20 Til opgavetekst ANOVA  df SS MS F Significance F Regression 2 3,086357295 1,543178647 489,8071191 9,36129E-16 Residual 17 0,053559934 0,003150584 Total 19 3,139917229   Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Intercept -1,209532789 0,098948359 -12,22387919 7,57986E-10 -1,418295579 ln(Energiforbrug) 0,189820948 0,046124878 4,115370138 0,000722307 0,09250596 ln(Antal ansatte) 0,621447461 0,104080073 5,970859178 1,5188E-05 0,401857701   Upper 95% Lower 95,0% Upper 95,0% lntercept: -1,00077 -1,418295579 ln(Energiforbrug): 0,287135935 0,09250596 Ln(Antal ansatte): 0,841037221 0,401857701 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Predicted Y Residuals Standard Residuals Percentile Y Til opgavetekst RESIDUAL OUTPUT PROBABILITY OUTPUT Observation Predicted Y Residuals Standard Residuals Percentile Y   Til opgavetekst Observation Predicted Y Residuals Standard Residuals Percentile Y 1 0,053796024 0,050563991 0,952353386 2,5 0,104360015 2 0,096153345 0,043608598 0,82135122 7,5 0,139761942 3 0,160022823 0,046991346 0,885063986 12,5 0,207014169 4 0,298673147 -0,059656247 -1,123602537 17,5 0,2390169 5 0,341030468 -0,040925875 -0,770823169 22,5 0,300104592 6 0,441754825 0,04682519 0,881934494 27,5 0,488580015 7 0,568400871 -0,008785083 -0,16546367 32,5 0,559615788 8 0,577662266 0,004553354 0,085760672 37,5 0,58221562 9 0,660645011 -0,078429391 -1,477187511 42,5 10 0,685992067 -0,038888824 -0,732456098 47,5 0,647103242 11 0,788449063 -0,060900456 -1,147036734 52,5 0,727548607 12 0,841354705 0,046536552 0,876498116 57,5 0,887891257 13 0,916823614 0,00345914 0,065151568 62,5 0,904218151 14 0,911892922 -0,007674771 -0,144551378 67,5 0,920282753 15 1,077290053 0,004515118 0,085040509 72,5 0,966983846 16 1,093936465 -0,126952619 -2,3911039 77,5 1,08180517 17 1,130791344 0,016611109 0,312863872 82,5 1,147402453 18 1,234053915 0,044098288 0,830574341 87,5 1,278152203 19 1,285178948 0,036576892 0,688911746 92,5 1,32175584 20 1,335549339 0,07787369 1,466721088 97,5 1,413423029

Til opgavetekst Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Så derfor vil jeg sige ”Tak for nu”. Til opgavetekst Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS