Endelige Automater Simple sprog (regulære sprog) kan beskrives vha. Regulære udtryk. Regulære sprog kan altid parses vha endelige automater. Nondeterministik Finite State Machine kan omskrives til Finite State Machine/endelig automat.

Regulær grammatik Right regular grammar A → a A → aB A → ε - hvor A er en non-terminal og a er en terminal Left regular grammar A → a A → Ba A → ε ident → letter tegenlist letter → a | b | c | d | | å | A | B | | Å tegnlist → tegn tegnlist | e tegn → letter | digit digit → 0 | 1 | 2 | 3 | | 9

Regulær udtryk Lad T være det terminale alfabet. og T* angive et sættet af mulige strenge over T ex: T={a,b,c} så er: aaa,bab,bbbbcbbaaaa er indeholdt i T* Et sporg L er et muligt subsæt af T* ex: L={aaa,aab,abc} Hvis et sprog er ''finite'' kan det beskrives på denne måde, men det er sprog som regel ikke.

Operationer på sprog. Fordi sprog er sæt så vil enhver sæt-operation kunne anvendes på sprog. Ex: L1={aaa,bbb} L2={aaa,ccc} L1  L2 = {Sættet af strings tilhørende både L1 og L2} = {aaa} L1  L2 = {Sættet af strings tilhørende L1 eller L2} ={aaa,bbb,ccc}

Nul eller flere gentagelser hvis i går mod uendeligt ex: L={a} => L*={e,a,aa,aaa,aaaa,aaaaa,... } L={aa,bb} => L*={e, aa,bb,aaaa,aabb,bbaa,bbbb,.... } Dvs: T* er settet af vilkårligt sammenkædede symboler fra T (Sættet af alle strenge)

Regulære udtryk Metode til at beskrive regulære sprog: Regulære udtryk Anvendte symboler: T,(,),c.,un.,* ex: T={a,b,c} L= a* ={e,a,aa,aaa,aaaa,...} L= a  b = a | b ={a,b} L= ab ={ab} L= a*b ={b,ab,aab,aaab, (vilkårlig mange a'er)} L= a*  b* ={e,a,b,aa,bb,aaa,bbb,aaaa,bbbb (strenge af vil. len bestående af a'er eller b'er} L= a*b*b ={b,ab,aab,aaab,.. aaaabb, aaaabbbb... (vil. mange a'er, og mindst et b)...}

Regulære udtryk Alternation | : "gray|grey" matcher gray or grey. Grouping () : "gray|grey" og "gr(a|e)y" matcher bægge gray and grey. Quantification En quantifier efter et tegn eller gruppe af tegn angiver hvor mange gange tegnet eller gruppen skal gentages. ? 0 eller 1 gentagelser : "colou?r" matcher både color og colour. * 0 eller flere gentagelser: "go*gle" matcher ggle, gogle, google, osv. + 1 eller flere gentagelser: "go+gle" matcher gogle, google, osv.

Regulære udtryk: POSIX-udvidelser:.Alle tegn i alfabetet. []Matcher et enkelt tegn som er indeholdty i []. Fx [abc] matcher a, b eller c. [a-z] matcher et lillebogstav fra a til z i den tegntabel der anvendes typisk Ascii. [^ ]Matcher et tegn fra komplementærmængden. Fx. [^a-z] matcher alle andre tegn end de små bogstaver. ^Start på linie. $Slutningen på linien.

Regulære udtryk if then else : Endelige ord. [0-9]+ : Hel tal fx ?[0-9]+ : Positive og negative heltal. [a-z]([a-z]|[0-9]|_)* : symbolsknavn fx temp_3 //[^\n]* : // kommentar -?([0-9]+|([0-9]*\.[0-9]+)([eE][-+]?[0-9]+)?) : Real tal fx -3.4e-4

Endelige automater En maskine til at undersøge om en streng tilhøre et sprog L. Maskinen: Deterministic state machine (finite state automata) (Endelig automat). M=(K,T,delta,s,F) hvor: K: er et endeligt sæt af tilstande. T: er et alfabet. delta: er en funktion som afbilder en tilstand og et symbol fra T over I en ny tilstand i.e. K x T -> K s: tilhørende K er initial tilstanden. F: subsæt K er et sæt af slut tilstande. Maskinen arbejder således: Givet en streng T= a1a2a3,...ai Så vi maskinen gennemløbe en sekvens ef tilstande x0,x1,...,xi udfra følgende: x0=s (initial state) x(j+1)=delta(x(j),aj)

FSA L={ ,aaa,aacb,ba,bcb,cbb} c

FSA a*b (aba)*b(ba)* a  b

FSA if i f [0-9] [0-9]

FSM -? - -?a - a a [0-9]* [0-9]

NFSA Lad os antage at det er tilladt at delta ikke er en funktion dvs samme tilstand og samme symbol kan resultere i to ellere flere næste tilstande, samt at vi kan skifte fra en tilstand til en anden uden at læse et symbol. Så har vi en nondeterministic finite state automata eller nfsa. 

NFSA

Transform NFSA -> FSA Det er muligt at transformere alle NFSA til FSA, således at FSA acceptere samme og kun samme sprog Antag at: nfsa: M=(K,T,Delta,s,F) og at fsa: M´=(K´,T,delta,s´,F´) Tilstandende K´ fra M´ er mængder af tilstande i K, i.e. K´ subsæt 2^(K) (powersæt, sæt of subsæts) s´ = {s} un. {k i K | der er tillade af hoppe til k fra s uden at læse nogle symboler}

Transform NFSA -> FSA Delta er en funktion som afbilleder K´ og symboler i T over i tilstande i K´. Delta er givet ved: delta(k´,a)= {k i K | for nogle c i k´ er det tilladt at hoppe til k givet a efterfuldt af no symbolet et antal gange}

(abab)|(abbb) s7s5s3s1 s0 s8s6s4s2 s9 s10 a a b b ab bb   s0,s 1 s2 s3,s 4 a s5,s 6 b s7 s8 a b s9 b b s10