XM – En praktisk tilgang Poul Hjorth og Steen Markvorsen Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM synopsis CARMA og EMMA XM og UNDERVISNING PROCESORIENTERET LÆRING Endelige metriske rum Cut locus Elasticae Holomorf dynamik Scroll-kompressoren XM og UNDERVISNING Hardware og software Logistik (Matematik 1 på DTU) PROCESORIENTERET LÆRING Alle kneb Matematik 1 Differentialgeometri Faldgruber og kongeveje Visioner Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

ABSTRAKT Vi beretter om 10 års udvikling og praktiske erfaringer med eksperimentel matematik i undervisning og forskning på DTU. Vi giver konkrete eksempler på dels state-of-the-art hardware og software, som det er implementeret på DTU, dels den praktiske udnyttelse af disse muligheder, i den indledende undervisning, i den videregående undervisning og i forskning. Hvad undervisningen angår vil vi med eksempler diskutere de tilgrundliggende læringsstrategier -- fordele, ulemper, faldgruber og kongeveje Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

værn mod det mørke og tomme. Synge vil vi, legen er magt - mer end beregning, forstand og foragt, værn mod det mørke og tomme. Thorkild Bjørnvig Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

1995: CARMA Computer Aided Research in MAthematics The purpose of CARMA is to understand the role and to exploit the potential of the computer in mathematical research. The traditional tools of classical geometry, the ruler and the compass, were early (analog) computational and visualizational aids. These tools facilitate experimentation that, in the end, leads to generalization and abstraction. Classical geometry has strict 'ground rules' setting bounds for how far we can trust our senses and our tools when it comes to making abstract mathematical conclusions; one cannot do geometry without drawing, but the drawing is not the mathematics. Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM forskning: Endelige Metriske Rum Rummet er fuldstændig bestemt ved sin n x n metriske matrix som er symmetrisk, 0 i diagonalen, og opfylder trekants-uligheden Hvis elementerne er punkter i et omgivende metrisk rum, og afstandene er 'arvet' fra det omgivende rum; i hvilken grad kan det omgivende rums geometri (fx krumning) aflæses af det endelige rum? Emnet ligger i grænsefeltet mellem differentialgeometri og matrixalgebra. Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM forskning: Cut Locus På en Riemann’sk mangfoldighed minimerer geodæterne kun afstand lokalt. Ethvert punkt p giver anledning til en samling ‘endestationer’ hvor geodæter der starter i p mister deres minimerings-egenskab. Samlingen af disse endestationer er cut locus for p. XM inducerer masser af spørgsmål og formodninger. Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM forskning:Elasticae Et Euler elasticum har krumning direkte proportionalt med bøjningsmomentet. Hvis man placerer et endeligt antal massepunkter, eller en kontinuert massefordeling på elasticaet vil det bestemme en dynamik som kun i simple tilfælde er forstået. Mange enkle spørgsmål er uløste. XM-studier af forskellige situationer genererer hypoteser og giver en intution som ikke kunne opnås på nogen anden måde. Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM forskning: Holomorf Dynamik Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM forskning: Scroll Compressor Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM og undervisning []……………………………………….. the question of the role of the computer is pertinent wherever mathematics is being taught. There is general agreement that the computer should play a much more central part in the educational process than is the case today, but there is considerable uncertainty over how to implement this. Through CARMA we can bring experiment (back) into mathematics instruction. In education, as well as in research, there are elements of experiment, abstract understanding and mathematical reasoning. A great challenge in the next ten years will be to find the right balance between these elements, and here CARMA will in a natural way act as a focal point, as a catalyst and a forum for the implementation of ideas. Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

HARDWARE På DTU består klasserne ofte af flere hundrede studerende som skal modtage XM krydret undervisning samtidig. For 10-15 år siden var adgangen til computersystemer udelukkende fra store konverterede auditorier (“data-barer”) I dag foregår undervisningen mange steder i et blandet miljø hvor terminaler, tavle, skriveborde er jævnt fordelt. Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM att.: Matematik 1 på DTU Logistik 500 studenter 3 forelæsere 20 eksterne UA, gymnasie-lærere 20 hjælpelærere (ældre DTU-studerende) 10 DTU kolleger fra andre institutter 10 censorer fra hele landet 20 klasselokaler 120 computer-terminaler Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

HARDWARE “smart card” Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

SOFTWARE MAPLE er det gennemgående matematik-software, fra studiestart til eksamensprojekt. Senere kommer MATLAB, FEMLAB, SAS og forskellige CAD programmer til. Her vil vi fokusere på MAPLE og den indledende undervisning: Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

MAPLE MAPLE er en interaktiv, højniveau, generel matematikpakke med mange faciliteter. DTU har ‘Campuslicens’ på MAPLE hvilket indebærer, at programmet kan distribueres til undervisere og studerende Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

En MAPLE session (fra Mat1) Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Alle kneb Visualisér, eksperimentér? Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Alle kneb Visualisér, eksperimentér! Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Proces-orienteret læring G. Strang on eigenvectors and stuff directly from MIT http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/Tools/index.htm Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Proces-orienteret læring A’la Gauss 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = ? Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Proces-orienteret læring A’la Archimedes Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Proces-orienteret læring Vindelfladekonstruktion I Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Proces-orienteret læring Vindelflade konstruktion II Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Proces-orienteret læring Matematik 1 (semester 1 + 2 på DTU) Ugeseddel 10 http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/uge10.pdf http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/Uge10SOL.html Fladeintegration og Stokes’ sætning http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/FladeIntDemo.html Projekt-opgaver, et eksempel http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/RBCplan02.pdf Tema-opgaver, et eksempel http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/SkovBrandPub.pdf Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Proces-orienteret læring Differentialgeometri (4. semester på DTU) Rumkurver, et eksempel http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap02Viviani.html Flader, et eksempel http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap06(II)EulerGuillotine.html Gauss-Bonnet’s sætning, et eksempel http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap11GaussBonnet.html Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Proces-orienteret læring Faldgruber og Kongeveje I Når standard-spørgsmål har automatiske svar – og det har de jo ofte – så giver standard-opgaver ikke nødvendigvis anledning til det berømte ”ryk”. Den matematiske handlekraft indskrænkes i den faldgrube til følgende: Den ”automatiske analyse” udføres ved at præparere et input efter en passende skabelon og dernæst aktivere en automat (ikke nødvendigvis en computer). Det kan for eksempel foregå som i følgende demo: De første standard-eksempler går ud på at finde arealer og volumener. Det sidste non-standard-eksempel vedrører Stokes’ sætning. http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/FladeIntDemo.html Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Proces-orienteret læring Faldgruber og Kongeveje II Kongevejen betrædes (som antydet i det sidstnævnte eksempel) hvis automaten ikke giver det forventede svar, fordi så bør overraskelsens moment straks benyttes til at forstå hvorfor. (I det konkrete eksempel handler det om at forstå betydningen af orienterings-begrebet for flader.) Eksperimentets betydning for den proces-orienterede læring er på den måde at give anledning til strukturelt betingede, konstruktive, spørgsmål til de ”automatiske svar” – spørgsmål, der opklarer mysterierne og peger fremad mod det udsagn, den sætning, som de derved samtidig er med til at understøtte og bevise. Det bliver så underviserens interessante opgave dels at vejlede forventningen og simpelthen skabe den, for så vidt den ikke findes i forvejen, og dels at fastholde og dramatisere mysteriet samt vejlede opklaringsprocessen. Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM: Proces-orienteret læring Faldgruber og Kongeveje III Som en anden Sherlock Holmes: Det er – som altid – i spændingsfeltet mellem mysterium og opklaring at ”rykket” træder i karakter. Det er ikke altid butleren der er morderen. Og apropos den analogi: http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGProOpgTractorTractrix.pdf Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM er fremtiden Visioner Eksperiment og bevis samarbejder i procesorienteret læring Bærbare PC til alle studerende En praktisk tilgang til XM-inspireret undervisning på tværs af fagene Helt andre og nye strukturelt motiverede opgaveformuleringer Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM er fremtiden I G. Strang, MIT: http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/Tools/index.htm EmMa, DTU: http://www2.mat.dtu.dk/info/mathematics/EmMa/ Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM er fremtiden II Matematik 1, generelt: http://www2.mat.dtu.dk/education/01005/ Matematik 1, Maples: http://www2.mat.dtu.dk/education/01005/worksheets_mat1.html Matematik 1, ugeseddel 10: http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/uge10.pdf http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/Uge10SOL.html Matematik 1, en projekt-opgave: http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/RBCplan02.pdf Matematik 1, en tema-opgave: http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/SkovBrandPub.pdf Differentialgeometri, generelt: http://www2.mat.dtu.dk/education/01234/ Differentialgeometri, om kurver, flader og Gauss-Bonnet: http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap02Viviani.html http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap06(II)EulerGuillotine.html http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap11GaussBonnet.html Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06

XM – En praktisk tilgang Slut Tak for opmærksomheden! Institut for Matematik Projekt XM 24.05.06