Statistik og sandsynlighedsregning

Forskellige fordelinger Binomialfordelinger Normalfordelinger Standardnormalfordeling T-fordeling Chi i anden fordeling

Chi i anden fordeling Det er en kontinuert fordeling - der også primært anvendes i forbindelse med hypotesetestning og konfidensintervaller. Den er ikke symmetrisk; men højreskæv og afhænger som T-fordelingen af antallet af frihedsgrader f

Eksempel på χ2-fordeling Der opstilles en hypotese H0. Som udgangspunkt antages, at der ikke er afhængighed mellem observationerne - altså at der er uafhængighed H0: der er uafhængighed mellem observationerne H1: alternativ hypotese - der er afhængighed mellem observationerne Herefter ses på tabellen med observerede observationer. Hvis tabellen ikke er udfyldt (i alt) gøres dette Antal af Holdning Rækkenavne over 20 år under 20 år Hovedtotal nuværende OK 525 491 1016 ned på 0 311 288 599 sættes op 180 200 380 979 1995

Eksempel på χ2-fordeling Herefter udregnes de forventede værdier med følgende formel: 𝑟æ𝑘𝑘𝑒𝑠𝑢𝑚∗𝑘𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑒𝑠𝑢𝑚 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑠𝑢𝑚 Herefter chi i anden bidragene med følgende formel: (𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑟𝑒𝑡−𝑓𝑜𝑟𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡 ) 2 𝑓𝑜𝑟𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡 Herefter finder man frihedsgraderne med følgende formel: DF = (𝑟−1)(𝑘−1)

Eksempel på χ2-fordeling Konklusion

Binomialfordeling Det er en diskret fordeling - dvs der er kun tale om heltallige værdier. Anvendes til sandsynlighedsregning, når der kun er to udfald. (Enten sker det - eller også sker det ikke) Bestå-dumpe, fejl-fejlfri, dreng-pige, 6’er - ikke 6’er) Man knytter talværdier hertil - derfor er der tale om en stokastisk variabel. Skrives som X~b(n,p) hvor n angiver antal og p sandsynligheden Man kan beregne punktsandsynligheder, intervalsandsynligheder, middelværdi og standardafvigelse. Man kan ligeledes tegne grafer for binomialfordelinger (pindediagram)

Binomialfordeling Punktsandsynlighed Ex. 10 mand går til køreprøve. Risiko for at dumpe er 30 %. X~b(10,.3) eller b(10,30%) Sandsynligheden for præcis 2 dumper: P(X=2) = K(10,2)*0.32*(1-0,3)10-2 Punktsandsynlighed: Nspire: binoPdf(n,p,r)

Binomialfordeling Intervalsandsynlighed Sandsynlighed for mellem 3 og 7: P(3<X<7) det antages 3 og 7 ikke kan anvendes P(3<X<7) = P(X=4) +P(X=5)+P(X=6) = K(10,4)* 0.34*0,76+ K(10,5)* 0.35*0,75+ K(10,6)* 0.36*0,74= 0.3397972. Intervalsandsynlighed: Med Nspire cdf: binomCdf(n,p, nedre grænse,øvre grænse)

Binomialfordeling Middelværdi: μ (my) = n*p Standardafvigelse (kvadratrod af varians): σ (sigma) = 𝑛∗𝑝(1−𝑝) Middelværdi: 10*0,3 = 3 man forventer således at 3 vil dumpe Standardafvigelsen: 10∗0.3(1−.3) = 1.449