Signalbehandling og matematik 2 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 12. Design of digital IIR filters Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/

IIR og FIR filtre IIR FIR Systemer med uendelige impuls respons har altid mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) FIR Systemer med endelige impuls respons har ingen betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) General form: Eksempel: Invers transformation:

IIR vs FIR filter Hvorfor IIR filtre? Hvorfor ikke ? IIR filter har stejlere ”sidelobes” end et FIR filter med samme antal koefficienter. Dermed hurtigere og mindre hukommelses krævende Hvorfor ikke ? Et IIR filter har ikke lineær fase Et IIR filter kan være ustabilt ET IIR filter er mere sensitivt i for hold til afrundingsfejl

Definitioner på filter

Navne af frekevnes variabler i kontinuær og diskret domæne Kontinuer signaler Diskrete signaler Frekvens: F (Hz) f=F/Fs (Normaliseret frekvens) Vinkel hastighed : Ω=2πF (Radianer / sekund) ω=2πf (Radianer / sample) Konvertering Ω=ω/T Ω=ΩT Afgrænsning -∞<Ω<∞ -π/T<ω<π/T T= samplings perioden

Design af digitale IIR filtre ved hjælp af IIR analoge filtre Specifikation af filteret i digitalt domæne Konverter specifikationer til analogt Design filteret i det analoge domæne Konverter det analoge filter til det digitale domæne Implementer filteret i det digital domæne

Stabile systemer in z og s domænet Z: Poler skal være i enhedscirklen s: Poler skal være i venstre halvdel Re Im 1 *1/2 *1/3 σ jΩ 1 *1/2 *1/3

3 metoder til konvertering af analoge IIR filtre til digitale IIR filtre Approksimation af afledte Impuls invarians Bilineær Transformation

Bilineær Transformation Ved den Bilineær Transformation sættes s lig med Det betyder at:

Karakteristika ved Bilineær Transformation Poler fra højre side i s-planet ligger udenfor enhedscirkelen. Modsat poler fra venstre side i s-planet som ligger indenfor enhedscirklen Re Im 1 σ jΩ 1

Karakteristika ved Bilineær Transformation (3) Sammenhæng mellem ΩT og ω

Karakteristika ved Bilineær Transformation (4) Re Im 1 σ jΩ 1

Agend Design of Digital IIR filters Design af lowpass filtre Design af digitale Butterworth filtre Design af digitale Chebyshev filtre Design af digitale Elliptic filtre

Analogt lavpas Butterworth filter Er et ”all pole” filter Kvadreret frekvens amplitude respons N:filter orden Ωc: 3dB knæk frekvens Ωp: Anden knæk frekvens ε: relateret til dæmpning ved knæk frekvens se figur. Laplace transformation eller

Poler fra analogt Butterworth filter jΩ Ωc σ Polerne vil ligge spejlet omkring både den imaginære akse og den reelle akse.

Design af digitalt lavpass Butterworth filter Steps: Konverter specifikationer fra digitale til analoge specifikationer (ω til Ω) Formel 7.26 Beregn nødvendig filter orden. Formel 7.29- Dan overførselsfunktionen H(s) ud fra poler i venstre halvplan Bestem Gain ved Ω=0 Transformer til z domænet med bilineær transformation. Formel 7.18 Omskriv til simple rationel form (bk og ak koefficienter)

Konverter specifikationer fra digitale til analoge specifikationer (Step 1) Hvis specifikationen er opgivet i Hz find den normaliserede vinkel hastighed ωc=2πFc/Fs Omdan knækfrekvensen ωc til Ωc Samme procedure for andre vinkel hastigheder. F.eks. Stopbånds frekvenser (ωs )

Bestem filter orden (Step 2) Ωc kendt Ωc =3 dB cut off frequency Hvis filter orden (N) er forud defineret forsæt til næste slide. Hvis en given dæmpning (δ2) er påkrævet ved Ωs og Ωc findes N ved: δ2: dæmpning i stopbånd et ved Ωc Obs: Hvis N ikke er et hel tal rundes op

Bestem filter orden (Step 2) Ωc ukendt Ωs: Stop bånd knæk frekvens Ωp: Pass bånd knæk frekvens δ1: dæmpning i stopbånd et ved Ωp δ2: dæmpning i stopbånd et ved Ωs Løs for Ωc 𝑁= log 1 𝛿 𝑝 2 −1 / 1 𝛿 𝑐 2 −1 2 log Ω 𝑠 Ω 𝑝 Ωc kan findes fra Obs: Hvis N ikke er et hel tal rundes op

Bestem overførselsfunktionen fra poler i venstre side af s-planet (Step 3) Beregn poler: Opstil system funktion fra poler i venstre halv plan altså dem fra H(s)

Bestem gain (Step 4) Normalt ønskes i gain på 1 ved DC. Find G så H(0)=1;

Fra s domæne til z domæme (Step 5) Brug bilinear transformation Bilinear transformation

Fra kompleks z transformation til tidsdomæne filter (Step 6) Simplificer Invers z-transformation

Eksempel Konstruer et digitalt butterworth lavpas filter (fc=40 Hz, Fs=200 sps. og δ2=20dB dæmpning ved fs=60Hz)

Eksempel step 1 Normaliserede vinkel hastighed: Knækfrekevns Stopbåndets hjørne frekvens Fra digital til analog vinkel hastighed (T=1) ωc=2π 40/200=0.4 π ωc=2πFc/Fs ωs=2π 60/200=0.6 π

Eksempel: Bestem filter orden (Step 2) Ønsket dæmpning ved Ωs 20dB Filter orden N=4

Bestem overførselsfunktionen fra poler i venstre side af s-planet (Step 3) Beregn poler: Absolut værdi: Vinkeler:

Bestem overførselsfunktionen fra poler i venstre side af s-planet (Step 3 forsat) Opstil system funktion fra poler i venstre halvplan 4 poler i venstre halvplan: 4 poler i venstre halvplan: Tip: multiplikation af kompleks konjugerede

Bestem gain (Step 4) Find G så H(0)=1;

Fra s domæne til z domæme (Step 5) Bilinear transformation Bilinear transformation

Fra kompleks z transformation til tidsdomæne filter (Step 6) Mål:

Test af eksempel Test i matlab Sammenlign med ”butter” i matlab freqz(b,a,1000,200) [b a]=butter(4,[40/100]) b =[0.0466 0.1863 0.2795 0.1863 0.0466] a =[1.0000 -0.7821 0.6800 -0.1827 0.0301]

Chebyshev filter type I Overførselsfunktion Hvor ε er relateret til ripples i pasbåndet Hvor TN er et N ordens polynomium

Chebyshev filter type I Poler Polerne ligger på en ellipse Hvor β er relateret til ε Polernes location: Hvor vinklen φk er:

Chebyshev filter type II Overførselsfunktion Bemærk indeholder også nulpunkter Hvor ε er relateret til ripples i stopbåndet Hvor TN er samme Chebyshev polynomium

Bestem filter orden (N) på Chebyshev filter Hvor N: filter orden ε: Ripple i pass bånd δ2 : Dæmpning i stopbåndet Ωs : Knæk frekvens Ωp: Start på stopbånd Hvor TN er samme Chebyshev polynomium

Transformation af lavpas filtre til andre filter typer. Transformer et eksisterende filter til ønskede egenskaber. Simple transformation Spejl poler omkring IMG. aksen

Transformation i analogt domæne Filter type Transformation Ny knæk frekvens Lavpas>Lavpas Lavpas>Højpas Lavpas>Båndpas Lavpas>Stopbånd Oprindelig knæk frekvens Laveste knækfrekvens Ny knæk frekvens Højeste knækfrekvens

Eksempel Konverter vores lavpas filter til et højpas filter med knæk frekvens ved ωc=0.5 π

Test af eksempel i Matlab freqs(b,a)

Transformation i det digitale domæne

Eksempel digitalt Konverter vores lavpas filter til et højpas filter med knæk frekvens ved ωc=0.5 π Oprindelig knækfrekvens ωp=0.4π Ny knækfrekvens ω’p=0.5π Transformation:

Test af digitalt eksempel i Matlab freqz(b,a,1000,200) Ups: lille fejl

Sammenligning mellem filtre 4. ordens filter (fc=40 Hz, fs =80 Hz ,Fs=200 sps)

Update til næste år Mere fokus på transformation mellem filter typer Mere fokus på Butterworth poler Ny opgaver mindre bi linear