Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel1 Kvantitative metoder 2 Den multiple regressionsmodel 26. februar 2007

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 2 Dagens program Emnet for denne forelæsning er den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap appendix E.1) Definition og motivation Fortolkning af parametrene i den multiple regressionsmodel Sammenligning af den simple og multiple regressionsmodel Regression uden konstantled Goodness of fit

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 3 Definition og motivation Den multiple regressionsmodel er en udvidelse af den simple regressionsmodel Definition:  k forklarende variable: x 1,…, x k  Et konstantled  k+1 (ukendte) parametre:  u fejlled  Antagelsen E(u| x 1,…, x k )=0

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 4 Definition og motivation Fordelen ved den multiple regressionsmodel:  Man kan eksplicit kontrollere for mange flere faktorer Det betyder, at disse faktorer ikke er indeholdt i u  Det er forhåbentlig lettere at lave ceteris paribus fortolkninger:  β 2 er effekten på y af at ændre x 2 med en enhed alt andet lige (dvs. givet u og de andre x’er)  Man kan modellere mere generelle funktionelle former F.eks. modeller som

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 5 Den multiple regressionsmodel på matrixform For n observationer kan vi opskrive y og u er en nx1 matrix (vektor) X er en nx(k+1) matrix Parameteren β er en (k+1)x1 matrix (vektor)

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 6 Regressionsmodel på matrixform Den multiple regressionsmodel kan skrives som: OLS estimatoren kan udregnes som i den simple regressionsmodel ved brug af moment metoden Moment betingelsen:

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 7 Regressionsmodel på matrix form OLS estimatoren findes ud fra analoge betingelser i stikprøven Hvis (X’X) er invertibel (X har fuld rang) kan OLS estimatoren udregnes til OLS estimatoren kan også udledes ved at minimere

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 8 Fortolkning af OLS regression Fortolkning af OLS parametrene Antag følgende model: Den forudsagte værdi af y er givet ved Ændringerne i forudsagte værdi af y,

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 9 Fortolkning.. (fortsat) Fortolkningen af estimatet for β l :  Ændringen i y når alle øvrige forklarende variable holdes konstante:  Den multiple regressionsmodel giver mulighed for at lave ceteris paribus fortolkninger, selvom data ikke er indsamlet så enkelte variable kan holdes konstante

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 10 Eksempel: Timeløn Vi benytter nu data fra 1994 i stedet for 1980 Til denne analyse af timeløn introduceres en ny variabel:  Arbejdsmarkedserfaring (baseret på ATP indbetalinger) målt i år Modellen som estimeres er givet ved:

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 11 Fortolkning.. (fortsat) OLS estimatoren er besværlig at opskrive (med mindre man anvender matrixformen) Man kan vise Frisch-Waugh-Lovell teoremet I tilfældet med to forklarende variable kan man dog få et udtryk for OLS estimaterne:  Model Estimatet for β 1 kan skrives som  Hvor r 1 er residualerne fra følgende OLS regression

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 12 Fortolkning.. (fortsat) Residualerne r 1 kan altså fortolkes som den del af x 1 som er ukorreleret med x 2 r 1 er effekten af x 1 efter at have ”kontrolleret” for x 2 Estimatet af β 1 kan opnås ved følgende procedure:  Regresser x 1 på x 2 og udregn residualerne r 1  Regresser y på residualerne r 1

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 13 OLS Residualer For OLS residualer fra den multiple regressionsmodel (med et konstantled) gælder følgende:  Gennemsnittet af residualerne er lig 0:  Den empiriske kovarians mellem residualer og de forklarende variable er lig 0:  Punktet er altid på på OLS regressionslinien

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 14 Goodness of fit Goodness of fit: Dette er helt analogt til den simple lineære regressionsmodel Total variation i y kan dekomponeres i to dele

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 15 Goodness of fit Determinationskoeficienten R 2: Egenskaber ved R 2: R 2 ligger mellem 0 og 1 R 2 falder aldrig hvis man tilføjer en ekstra variabel. Hvorfor? R 2 kan ikke bruges til at sammenligne modeller med forskellige afhængige variable Overvej hvad man kan bruge R 2 til?

Kvantitative metoder 2: Den multiple regressionsmodel 16 Næste gang Onsdag d. 28/2: kapitel E.2 OLS estimatorens statistiske egenskaber Udeladte variable Variansen af OLS estimatoren