Løsning – mergeSort (Effektivitet af sortering) Definition af t(n): t(n)= 2t(n) + n
Enhver sortering baseret på sammenligning kan beskrives ved et (binært) beslutningstræ. –hver indre knude i træet repræsenterer en sammenligning. –hver sti fra roden til et blad repræsenterer et muligt forløb af sorteringsprocessen. –hvert blad repræsenterer en mulig sorteringsrækkefølge. –træet er ikke fuldt. Nedre grænse for sortering (ved sammenligning) Fx: x 1, x 2, x 3 : x 1 <x 2 x 1 <x 3 x 2 <x 3 x 1 <x 3 x 2 <x 3 t x 1, x 2, x 3 x 1, x 3, x 2 x 3, x 1, x 2 x 2, x 1, x 3 x 2, x 3, x 1 x 3, x 2, x 1 t t t t f ff f f
Sorterer vi n elementer, er der n! permutationer Dvs. der er n! blade Et binært træ med n! blade har mindst dybde log 2 (n!). (Husk: vi har tidligere vist, at antal blade i et fuldt binært træ af dybde n er 2 n-1 ) Dvs. antal sammenligninger er mindst log 2 (n!). Om n! gælder bl.a.: n! ≥ (n/2) (n/2) (n/2) -- n/2 gange = (n/2) n/2 Dvs. (da log er voksende, kan vi tage log på begge sider af ulighedstegnet): log 2 (n!) ≥ log 2 (n/2) n/2 = (n/2) log 2 (n/2) = (n/2)(log 2 n - log 2 2) = 0.5nlog 2 n – 0.5n = O(nlogn) Heraf følger, at antal sammenligninger er mindst O(nlogn), og dermed at enhver sammenlignings-sortering har mindst O(nlogn) køretid Nedre grænse for sortering (ved sammenligning) Fx: x 1, x 2, x 3 (3! = 6) x 1 <x 2 x 1 <x 3 x 2 <x 3 x 1 <x 3 x 2 <x 3 t x 1, x 2, x 3 x 1, x 3, x 2 x 3, x 1, x 2 x 2, x 1, x 3 x 2, x 3, x 1 x 3, x 2, x 1 t t t t f ff f f
Nedre og øvre grænse for sortering Vi har altså, at ingen sorteringsalgoritme kan være hurtigere end O(nlog(n)) –nedre grænse. Samtidig kender vi algoritmer (fx mergeSort), som har denne kompleksitet – øvre grænse. Dvs. vi kan ikke håbe på bedre kompleksiteter end O(nlog(n)), men vi kan selvfølgelig forbedre konstanter mv. Kompleksitetsmæssigt er sortering et lukket problem