Dagens program Test of Independence (chi-i-anden) Videre med projekt 3 Teori Regning af opgave 1

Test of Independence Afhænger brugervenligheden, BV, af antal billeder på en hjemmeside? Billeder \ BV Lav BV Middel Høj BV Antal Mange billeder 46% 43% 11% 131 Få billeder 59% 35% 6% 49 Total 49% 41% 10% 180 Tabelopstilling Responsvariablen (den afhængige) sættes i kolonnerne. Den forklarende variabel (den uafhængige) sættes i rækkerne. Beregn betingede procentfordelinger. Vis antallet som procenterne er beregnet på. 2 2

Test of Independence Afhænger brugervenligheden, BV, af antal billeder på en hjemmeside? Definition To variable er uafhængige, hvis de betingede fordelinger er ens (statistisk set) i populationen. To variable er afhængige, hvis de betingede fordelinger afviger betydeligt fra hinanden (statistisk set) i populationen. Tabellen viser resultater fra en stikprøve og de afviger mere eller mindre fra populationens. Billeder \ BV Lav BV Middel Høj BV Antal Mange billeder 46% 43% 11% 131 Få billeder 59% 35% 6% 49 Total 49% 41% 10% 180 3 3

Test of Independence Forudsætninger Hypoteser Simpel tilfældig udvælgelse. Mindst fem forventede observationer i cellerne Hypoteser H0: De to variable er uafhængige Ha: De to variable er afhængige Beregning af teststørrelse Vi kender det observerede antal observationer i hver celle Vi beregner det forventede antal observationer i hver celle for det tilfælde, at de to variable er uafhængige. Billeder \ BV Lav BV Middel Høj BV Total Mange billeder 60 56 15 131 Få billeder 29 17 3 49 89 73 18 180 4 4

Det forventede antal observationer Sandsynligheder P(Mange billeder) = 131/180, P(Få billeder) = 49/180 P(Lav BV) = 89/180, P(Middel) = 73/180, P(Høj BV) = 18/180 Forventede antal observationer P(Mange) x P(Lav BV) x 180 = (131/180) x (89/180) x 180 = (131 x 89) / 180 = 64,77 Hvis de to variable er uafhængige, forventer vi at finde 64,77 ≈ 65 observationer i celle 1 (hvor vi faktisk observerer 60). Generel skivemåde: Billeder \ BV Lav BV Middel Høj BV Total Mange billeder 60 56 15 131 Få billeder 29 17 3 49 89 73 18 180 5 5

Test of Independence 3. Beregning af Chi-i-anden teststørrelsen Chi-i-anden beregnes for hver celle. Chi-i-anden teststørrelsen er summen heraf. Den sammenfatter, hvor langt de faktiske antal ligger fra de forventede antal (nul-hypotesens ”forventning”). χ2 for den første celle: (60 – 64,8) = -4,8 (-4,8)2 = 23,04 23,04 / 64,8 = 0,35 Sum (0,35 +...+ 0,74) = 2,87 Observeret Lav Middel Høj Total Mange billeder 60 56 15 131 Få billeder 29 17 3 49 89 73 18 180 Chi-i-anden Lav Middel Høj Mange 0,35 0,16 0,28 Få billeder 0,94 0,42 0,74 Forventet Lav Middel Høj Total Mange 64,8 53,1 13,1 131 Få 24,2 19,9 4,9 49 89 73 18 180 6

Test of Independence 4. Omregning af teststørrelsen til en P-værdi kræver at vi kender antallet af frihedsgrader, df, (degrees of freedom), i tabellen. Antallet beregnes efter formlen: df = (r-1) x (k-1)=(2-1) x (3-1) = 2. P findes ved opslag i Excel. På dansk hedder funktionen CHI2.FORD.RT. Denne returnerer sandsynligheden i den højre hale (RT=right tail). Dvs. P(X2>obs.værdi), ssh. for den observerede værdi af teststørrelse eller større. Billeder \ BV Lav Middel Høj Antal Mange billeder 46% 43% 11% 131 Få billeder 59% 35% 6% 49 Total 49% 41% 10% 180 7 7

Test of Independence Konklusion: Med P værdi på 24% opretholdes H0. Det vil sige, at brugervenligheden ikke kan formodes at afhænge af billed-brugen. Forskellene i fordelingerne kan skyldes tilfældigheder som følge af stikprøven. Store værdier af χ2 giver små P-værdier. Små P-værdier er beviser mod nul-hypotesen H0. Med en χ2 på 2,87 og 2 frihedsgrader bliver P-værdien 24%. Vi afviser H0, når P er mindre end 5%. I dette tilfælde opretholder vi derfor H0. Hvad sker der med chi-i-anden teststørrelsen, hvis to kolonner byttes om? Hvad forskellen på Goodness of Fit test og Test of Independence? Billeder \ BV Lav Middel Høj Antal Mange billeder 46% 43% 11% 131 Få billeder 59% 35% 6% 49 Total 49% 41% 10% 180 8 8

Opgave i Test of Independence Har personer, der angrer, større risiko for at få hjertesygdomme end personer, der ikke angrer? En undersøgelse har belyst risikoen for en bestemt type hjertesygdom. Hjertesygdom Grad af anger Ja Nej Total Lav 31 3.079 3.110 Middel 63 4.668 4.731 Højt 18 615 633 Opgaver Beregn de betingede fordelinger og beskriv i ord, hvad du ser. Test (slavisk, dvs. i de fem trin) om der er sammenhæng (asso-ciation) mellem responsvariablen og den forklarende variabel. Skriv en konklusion Kilde: http://www.sjsu.edu/faculty/gerstman/StatPrimer/crosstabs-exercises.htm (opgave 10.11, løsning i bunden af siden) 9 9