Variansanalyse Modelkontrol Statistik Lektion 4 Variansanalyse Modelkontrol

Eksempel Spørgsmål: Er der sammen-hæng mellem udetempe-raturen og forbruget af gas? Y : Forbrug af gas (gas) X : Udetemperatur (temp) Scatterplot → SPSS: Estimerede model: Både skæring (a) og hældning (b1) er signifikante! Fortolkning? R2 = 0.467

Eksempel – nu med isolering! Y : Forbrug af gas, skala (gas) XTemp : Udetemperatur, skala (temp) XIsolering: {Før, Efter}, kategorisk (insulate) Omkod XIsolering til binær dummy variabel XFør XFør = 1 hvis XIsolering = Før XFør = 0 hvis XIsolering = Efter Model:

Fortolkning af model Når XIsolering = Før Når XIsolering = Efter To linjer med forskellig skæringspunkter! Før angiver forskellen i skæringspunkt.

To regressionslinjer med forskellige skæringer, men samme hældning Y Linje for XFør=1 a + bFør Linje for XFør=0 a X1

Eksempel og SPSS SPSS: Som før, dog er ’Insulate’ tilføjet ’Fixed factor’ Som ventet er F-testet stadig signifikant. Som ventet er R2 vokset – med nye variable kan modellen aldrig forklare mindre end før. Bemærk at R2 er meget større!

Eksempel og SPSS Estimater Estimeret model: Prædikteret gas-forbrug for et hus før det isolering når temperatur er 7o (xTemp = 7 og XFør=1):

Vekselvirkning / Interaktion Vi kan introducere en vekselvirkning mellem kvalitative og kvantitative variable. Y, XTemp og XFør er som før. Introducer: XTemp,Før = XTemp∙XFør Model

Fortolkning Når XIsolering = Før: Når XIsolering = Efter: bTemp,Før beskriver forskellen i hældningen mellem de to regressionslinjer.

SPSS Hoved-effekt: ”Ensom” variabel Interaktionsled: Produkt af to eller flere variable I SPSS: Under ’Model’ angiv hoved-effekter og interaktionsled. Indsæt altid hoved-effekter først!

Scatterplot → Estimater Estimeret model:

Variansanalyse (ANOVA ) Analysis of Variance Setup: Kun kategoriske forklarende variable Eksempel: Y: Månedlige forbrug (Amount spent - amtspend) X1: Shoppestil (Shopping style - style) Hver anden uge: Biweekly (B) Hver uge: Weekly (W) Ofte: Often (O) Spørgsmål: Påvirker ’style’ forbruget?

Grafisk overblik

Omkodning vha. Dummies For at kunne anvende en MLR model må den kategoriske style variabel omkodes til dummy variable: To binære dummy variable: XB og XW Bemærk: k kategorier omkodes til k-1 dummy variable Model: Style XB XW Biweekly 1 Weekly Often

Hypotesen Model: E[Y | Style = B] = a + bB E[Y | Style = W] = a + bW E[Y | Style = O] = a Bemærk: bB og bW angiver hvordan Bi-weekly og Weekly adskiller sig fra Often. Often er referencekategori. Hypotese: Middelværdien er den samme for alle styles: H0: bB = bW = 0 H1: bB  0 og/eller bW  0 Afgøres vha. et F-test.

SPSS a bB bW Fortolkning?

To-sidet Variansanalyse Ide: Tage højde for køn X2: Køn (Mand/Kvinde) (Gender - gender) Omkodes til dummy variabel: XM = 1 hvis X2 = Mand Model: Tester to nul-hypoteser: H0: bB = bW = 0 (Ingen effekt af style) H0: bM = 0 (Ingen effekt af gender)

SPSS

Interaktion? Er der en vekselvirkning mellem gender og style?

Model med Interaktion Model: Hypotese: Ingen interaktion H0: bBM = bWM = 0 Hypotese: Ingen hovedeffekt af style H0: bB = bW = 0 Hypotese: Ingen hovedeffekt af gender H0: bM = 0 Det hierarkiske princip: Det giver ikke mening at teste hovedeffekter, når de indgår i en interaktion.

SPSS Bemærk: Hoved-effekter før interaktioner!

SPSS Ifølge det hierarkiske princip er det kun test af interaktionen, der giver mening. Konklusion?

Estimerede model Estimerede model er: = 405,727 + 2,048 XM -61,751 XB -44,006 XW + 67,042 XBM + 77,196 XWM

Forbrug = Stil + Køn + Stil*Køn Modelform Modellen for forbrug forklaret ved shoppe-stil og køn kan altså skrives som Her er xB, xW og xM dummy variable. At skrive formlen op kan hurtigt blive uoverskueligt. Modellens modelform kan skrives som Forbrug = Stil + Køn + Stil*Køn I forbindelse med analyse eller fortolkning af model-parametre er det stadig nyttigt at skrive den matematiske formel op.

Modelkontrol - Motivation Vores konklusioner om variables vigtighed baseres på p-værdi. p-værdien er en ”halesandsynlighed” i en fordeling, fx F-fordelingen. F-fordelingen baserer sig på antagelser om at fejlleddet e er normalfordelt og har konstant varians (homoskedastisk). Med andre ord: For at kunne stole på vores konklusioner, skal vi checke at antagelserne om normalfordelte og homoskedasktiske fejlled passer!

Residual I den sande model har vi Det kan vi skrive om til Residualet, ei, er derfor et estimat af fejlleddet: Da ei’erne er normalfordelte bør ei’erne også være det (hvis modellen da ellers er korrekt).

Modelkontrol For at kunne stole på test og estimater skal vi sikre os, at modellens antagelser er overholdt! Antagelse: Middelværdi-strukturen i modellen er Kan være svært at checke direkte, hvis vi har mange forklarende variable. Hvis middelværdi-strukturen i modellen er korrekt, så bør middelværdien af ei’erne være ca. nul uanset værdien af . ’erne eller x’erne. Grafisk check: plot af af ei mod .

Modelkontrol Antagelse: Fejlleddene e1,…, en uafhænige? Der må ikke vær nogen systematisk sammenhæng mellem ei’erne og ’erne eller x’erne. Grafisk check: Et plot at ei mod eller x. Antagelse: Fejlleddene e1,…, en ~ N(0,s2)? Hvis sandt regner vi med at ei’erne er cirka normalfordelte. Et plot at ei mod kan afsløre om variansen er konstant (homoskedatiske fejlled). Et histogram eller QQ-plot kan afsløre om ei’erne er normalfordelte

Residualplot Residualer √ Residualer ٪ Homoskedastisk: Residualerne ser ud til at variere ufahængigt af hinanden og x (eller ). Heteroskedastisk: Variansen for residualerne ændrer sig når x ændrer sig. Residualer ٪ ٪ Residualer Tid Residualerne udviser lineær trend med tiden (eller en anden variabel vi ikke har brugt). Dette indikerer at tid skulle inkluderes i modellen. Det buede mønster indikerer en underlæggende ikke-lineær sammenhæng.

Eksempel: Kriminalitet og Urbanisering Data for n = 67 distrikter i Florida. yi = Crime rate xi = Urbanisering Model: Hvor ei ~N(0,s2)

Residualer i SPSS I ’Univariate’ vinduet vælges ’Save…’ I ’Save’ vinduet vælges ’Unstandardized’ både under ’Reresiduals’ (ei’erne) og ’Predicted Values’ ( ’erne) .

Efter endt regression skaber SPSS to nye søjler i ’Data Editor’, der indeholder residualer (’RES_1’) prædiktioner (’PRE_1’) . Derefter kan man fx lave scatter plots.

Scatter plot af residualer (ei’erne) mod ’urbanisering’ (xi’erne). residualer (ei’erne) mod prædiktionerne ( ’erne) . Ser jo ganske usystematisk ud med jævn variation!

Histogram af residualer Histogrammet burde ligne en normalfordeling. Det gør det ikke helt… men det er ikke katestrofalt.