Anvendelser I Leg og spil

Plan Leg og spil Ordkvadrater Tomandsspil (Kryds-og-bolle) Stakke og oversættere Check af parentesstrukturer En simpel kalkulator Indlæsning og beregning af aritmetiske udtryk

Ordkvadrater Problem: Givet et kvadrat bestående af bogstaver samt en ordbog. Find alle de ord i kvadratet, der optræder i ordbogen. Ordene læses vandret, lodret eller diagonalt i enhver retning (i alt 8 retninger). Eksempler: tank, ank, an, en, real, te, anke, nota, ral, ro, et, at, ark, ko, kok

Løsningsalgoritmer Ineffektiv algoritme: for ethvert ord W i ordbogen for enhver række R for enhver søjle C for enhver retning D afgør om W findes i række R, søjle C og retning D Antag R = C = 32 og W = 40,000 Antal ordsammenligninger i indre løkke: 40,000*R*C*8 = 327,680,000

Forbedret algoritme: for enhver række R for enhver søjle C for enhver retning D for enhver ordlængde L afgør om de L tegn i række R, søjle C og retning D findes som et ord i ordbogen Antal check i indre løkke (antag L = 20): R*C*8*L = 32*32*8*20 = 163,840 Hvis hvert opslag i ordbogen foretages med binær søgning maksimalt 163,840 * (Îlog240,000˚ + 1) = 163,840 * 16 = 2,621,440 ordsammenligninger. For eksemplet her er algoritmen blevet cirka 125 gange hurtigere.

Yderligere forbedret algoritme: for enhver række R for enhver søjle C for enhver retning D for enhver ordlængde L afgør om de L tegn i række R, søjle C og retning D findes som et ord i ordbogen hvis de ikke udgør et præfiks for noget ord i ordbogen, så break; // ud af den inderste løkke Om de L tegn udgør et præfiks for et ord i ordbogen kan afgøres ved binær søgning.

Implementering i Java int solvePuzzle() { int matches = 0; for (int r = 0; r < rows; r++) for (int c = 0; c < columns; c++) for (int rd = -1; rd <= 1; rd++ ) for (int cd = -1; cd <= 1; cd++) if (rd != 0 || cd != 0 ) matches += solveDirection(r, c, rd, cd); return matches; }

int solveDirection(int r, int c, int rd, int cd) { int numMatches = 0; String chars = "" + theBoard[r][c]; for (int i = r + rd, j = c + cd; i >= 0 && j >= 0 && i < rows && j < columns; i += rd, j += cd) { chars += theBoard[i][j]; int index = prefixSearch(theWords, chars, numEntries); if (!theWords[index].startsWith(chars)) break; if (theWords[index].equals(chars)) { numMatches++; System.out.println("Found " + chars + " at " + r + " " + c + " to " + i + " " + j ); } return numMatches;

int prefixSearch(String[] a, String chars, int n) { int low = 0; int high = n - 1; while (low < high) { int mid = (low + high)/2; if (a[mid].compareTo(chars) < 0) low = mid + 1; else high = mid; } return low;

Spil

Kryds-og-bolle (Engelsk: Tic-tac-toe) ... Bolle vinder Uafgjort Kryds vinder

Mini-max strategien 1. Hvis stillingen er en slutstilling, så returner dens værdi. 2. Ellers, hvis det er computeren til at trække, så returner den maksimale værdi af alle de stillinger, der fremkommer ved at udføre et træk. Værdierne beregnes rekursivt. 3. Ellers, hvis det er mennesket til at trække, så returner den minimale værdi af alle de

Mini-max strategien udfører megen overflødig søgning C1 C2 C3 H2A H2B H2D H2C uafgjort maksimer Beskæring: C2 kan aldrig blive bedre end “uafgjort”. minimer

Alpha-beta-beskæring Trækket H2A kaldes en gendrivelse af trækket C2. Trækket er godt nok, men ikke nødvendigvis det bedste. alpha: Den hidtil bedste værdi opnået af computeren. beta: Den hidtil bedste værdi opnået af mennesket. Beskæring sker (1) hvis mennesket opnår en værdi, der er mindre end eller lig med alpha. (2) hvis computeren opnår en værdi, der er større end eller lig med beta.

public Best chooseMove(int side, int alpha, int beta) { int bestRow = 0, bestColumn = 0; int value, opp; if ((value = positionValue()) != UNCLEAR) return new Best(value); if (side == COMPUTER) { opp = HUMAN; value = alpha; } else { opp = COMPUTER; value = beta; } Outer: for (int row = 0; row < 3; row++) for (int column = 0; column < 3; column++) if (squareIsEmpty(row, column)) { place(row, column, side); Best reply = chooseMove(opp, alpha, beta); place(row, column, EMPTY); if (side == COMPUTER && reply.val > value || side == HUMAN && reply.val < value) { value = reply.val; if (side == COMPUTER) alpha = value; else beta = value; bestRow = row; bestColumn = column; if (alpha >= beta) break Outer; } return new Best(value, bestRow, bestColumn);

Driver-rutine Best chooseMove(int side) { return chooseMove(side, HUMAN_WIN, COMPUTER_WIN); }

Effekten af alpha-beta-beskæring Beskæringen er størst, når algoritmen i enhver stilling altid undersøger det bedste træk først. I praksis er antallet af knuder, der bliver undersøgt ved brug af alpha-beta-beskæring O( ), hvor N er det antal knuder, der ville blive undersøgt uden brug af alpha-beta-beskæring. På den samme tid kan der søges dobbelt så dybt.

Beskæring ved hjælp af tabel Undgå genberegninger ved at gemme evaluerede stillinger i en tabel. To søgninger resulterer i samme stilling. Benyt en hashtabel.

class Position implements Hashable { int[][] board; int value; Position(int theBoard[][]) { board = new int[3][3]; for (int i = 0; i < 3; i++) for (int j = 0; j < 3; j++) board[i][j] = theBoard[i][j]; } public boolean equals(Object rhs) { if (board[i][j] != ((Position) rhs).board[i][j]) return false; return true; public int hash(int tableSize) { int hashVal = 0; hashVal = hashVal*4 + board[i][j]; return hashVal % tableSize;

public Best chooseMove(int side, int alpha, int beta, int depth) { int bestRow = 0, bestColumn = 0; int value, opp; Position thisPosition = new Position(board); int tableDepth = 5; if ((value = positionValue()) != UNCLEAR) return new Best(value); if (depth == 0) transpositions.makeEmpty(); else if (depth >= 3 && depth <= tableDepth) { try { Position lookupVal = (Position) transpositions.find(thisPosition); return new Best(lookupVal.value); } catch (ItemNotFound e) {} } ... thisPosition.value = value; if (depth >= 3 && depth <= tableDepth) transpositions.insert(thisPosition); return new Best(value, bestRow, bestColumn);

En generel pakke til tomandsspil med perfekt information package twoPersonGame; public abstract class Position { public boolean maxToMove; public abstract Vector successors(); public abstract int value(); public boolean unclear() { return false; } public int alpha_beta(int alpha, int beta, int maxLevel); public Position bestSuccessor() { return bestSuccessor; } private Position bestSuccessor; }

public int alpha_beta(int alpha, int beta, int maxLevel) { Vector successors; if ((maxLevel <= 0 && !unclear()) || (successors = successors()).isEmpty()) return value(); for (int i = 0; alpha < beta && i < successors.size(); i++) { Position successor = (Position) successors.elementAt(i); int value = successor.alpha_beta(alpha, beta, maxLevel-1); if (maxToMove && value > alpha) { alpha = value; bestSuccessor = successor; } else if (!maxToMove && value < beta) { beta = value; return maxToMove ? alpha : beta;

Minimering af kode (nega-max) public int alpha_beta(int alpha, int beta, int maxLevel) { Vector successors; if ((maxLevel <= 0 && !unclear()) || (successors = successors()).isEmpty()) return (maxToMove ? 1 : -1) * value(); for (int i = 0; alpha < beta && i < successors.size(); i++) { Position successor = (Position) successors.elementAt(i); int value = -successor.alpha_beta(-beta, -alpha, maxLevel-1); if (value > alpha) { alpha = value; bestSuccessor = successor; } return alpha;

import twoPersonGame.*; public class TicTacToePosition extends Position { public TicTacToePosition(int row, int column, TicTacToePosition predecessor) { ... } public Vector successors() { Vector successors = new Vector(); if (!isTerminal()) for (int row = 0; row < 3; row++) for (int column = 0; column < 3; column++) if (board[row][column] == '.') successors.addElement( new TicTacToePosition(row, column, this)); return successors; } public int value() { return isAWin('O') ? 1 : isAWin('X') ? -1 : 0; } public boolean unclear() { return value() == 0; } public boolean boardIsFull() { ... } public boolean isAWin(char symbol) { ... } public boolean isTerminal() { ... } public void print() { ... } int row, column; char[][] board = new char[3][3];

Stakke og oversættere

Check af parentesstrukturer Problem: Givet en streng indeholdende parenteser. Afgør om parenteserne ”balancerer”, d.v.s. om der til hver venstreparentes svarer en højreparentes, og der til hver højreparentes svarer en venstreparentes. For eksempel balancerer parenteserne i “[()]”, men ikke i “[(])”. I det følgende forsimples problemet ved at antage, at strengen udelukkende indeholder parenteser.

Kun én type parenteser Hvis der kun er én type parenteser, f.eks. ’(’ og ’)’, er løsningen simpel. Vi kan kontrollere balancen med en tæller. boolean balanced(String s) { int balance = 0; for (int i = 0; i < s.length(); i++) { char c = s.charAt(i); if (c == '(') balanced++; else if (c == ')') { balance--; if (balance < 0) return false; } return balance == 0;

Flere typer af parenteser Hvis der derimod er flere typer af parenteser, kan problemet ikke løses ved tællere. Men vi kan let kontrollere balancen med en stak. Algoritme: 1. Lav en tom stak. 2. Sålænge strengen ikke er læst, så læs det næste tegn. a. Hvis tegnet er en startparentes, så læg det på stakken. b. Hvis tegnet er en slutparentes, og stakken er tom, så giv en fejlmeddelelse. c. Ellers, afstak det øverste tegn. Hvis dette ikke er en startparentes svarende til den læste slutparentes, så giv en fejlmeddelelse. 3. Hvis stakken ikke er tom, så giv en fejlmeddelelse.

Eksempel Streng s = "([]}" ( [ ( ( ] } Fejl! parenteser: (, ), [, ], { og } Streng s = "([]}" ( [ ( ( ] } Fejl!

Javakode boolean balanced(String s) { Stack stack = new charStack(); for (int i = 0; i < s.length(); i++) { char c = s.charAt(i); if (c == '(' || c == '[' || c == '{') stack.push(c); else if (stack.isEmpty() || (c == ')' && stack.pop() != '(')) || (c == ']' && stack.pop() != '[')) || (c == '}' && stack.pop() != '{')) return false; } return stack.isEmpty();

Indlæsning og beregning af aritmetiske udtryk Beregn udtrykket 1 * 2 + 3 * 4 Værdi = (1 * 2) + (3 * 4) = 2 + 12 = 14. Simpel beregning fra venstre mod højre kan ikke benyttes. Vi må tage højde for, at multiplikation har hørere præcedens end addition (* binder stærkere end +). Det er nødvendigt at gemme mellemresultater.

Associativitet Hvis to operatorer har samme præcedens, afgør deres associativitet beregningsrækkefølgen. Udtrykket 4 - 3 - 2 beregnes som (4 - 3) - 2, fordi minus associerer fra venstre mod højre. Udtrykket 4 ^ 3 ^ 2, hvor ^ betegner potensopløftning, beregnes som 4 ^ (3 ^ 2), fordi ^ associerer fra højre mod venstre.

Parenteser Beregningsrækkefølgen kan klarlægges ved hjælp af parenteser. Eksempel: 1 - 2 - 4 * 5 ^ 3 * 6 / 7 ^ 2 ^ 2 beregnes som ( 1 - 2 ) - ( ( ( 4 * ( 5 ^ 3 ) ) * 6 ) / ( 7 ^ ( 2 ^ 2 ) ) ) Parenteserne hjælper, men det er uklart, hvorledes beregningerne kan automatiseres.

Postfix-notation Den normale notation for aritmetiske udtryk kaldes for infix-notation (operatorerne står imellem sine operander, f.eks. 3 + 4). Beregningerne kan forenkles ved omskrivning til postfix-notation (operatorerne står efter sine operander, f.eks. 3 4 +). 1 - 2 - 4 ^ 5 * 3 * 6 / 7 ^ 2 ^ 2 (infix) omskrives til 1 2 - 4 5 ^ 3 * 6 * 7 2 2 ^ ^ / - (postfix) Postfix-notation er parentesfri.

Beregning af postfix-udtryk ved hjælp af en stak 1 2 1 - -1 4 -1 5 4 -1 ^ -1 1024 3 -1 1024 * -1 3072 6 -1 3072 * -1 18432 18432 7 -1 2 -1 7 18432 2 -1 7 18432 ^ -1 7 18432 4 ^ -1 2401 18432 / -1 7 -8 -

class Calculator { static int valueOf(String str) { intStack s = new intStack(); for (int i = 0; i < str.length(); i++) { char c = str.charAt(i); if (Character.isDigit(c)) s.push(Character.getNumericValue(c)); // only one digit else if (!Character.isWhitespace(c)) { int rhs = s.pop(), lhs = s.pop(); switch(c) { case '+': s.push(lhs + rhs); break; case '-': s.push(lhs - rhs); break; case '*': s.push(lhs * rhs); break; case '/': s.push(lhs / rhs); break; case '^': s.push((int) Math.pow(lhs, rhs)); break; } return s.pop(); class intStack { void push(int v) { s[++top] = v; } int pop() { return s[top--]; } int s[] = new int[100], top = -1; }

Omformning fra infix til postfix ved hjælp af en stak (Dijkstras vigesporsalgoritme) Infix-streng Postfix-streng operander operatorer Operatorstak

Omformning fra infix til postfix 1 - 1 2 - 12 - 12- 4 - 12-4 ^ - 12-4 5 - ^ 12-45 * - 12-45^ 3 - * 12-45^3 * - 12-45^3* 6 - * 12-45^3*6 / - 12-45^3*6* 7 - / 12-45^3*6*7 ^ - / 12-45^3*6*7 2 - / ^ 12-45^3*6*72 2 12-45^3*6*722^^/- ^ - /

Syntaksanalyse Mål: Et program til indlæsning og beregning af aritmetiske udtryk (AE) . Løs et lettere problem først: Læs en streng og undersøg, om den er et lovligt AE.

Grammatik for aritmetiske udtryk Benyt en grammatik til at beskrive AE: <expression> ::= <term> | <term> + <expression> | <term> - <expression> <term> ::= <factor> | <factor> * <term> | <factor> / <term> <factor> ::= <number> | (<expression>) Grammatikken er beskrevet ved produktionsregler og består af (1) nonterminale symboler: expression, term, factor og number. (2) terminale symboler: +, -, *, /, ( og ). (3) metasymboler: ::=, <, >, og | .

Syntaksanalyse expression En streng er et aritmetisk udtryk, hvis det ved hjælp af produktionsreglerne er muligt at udlede strengen ud fra expression, dvs. ud fra expression i en række skridt nå frem til strengen ved i hvert skridt at erstatte et nonterminal-symbol med et af alternativerne på højresiden af en produktion for dette symbol. Syntakstræ for (3*5+4/2)-1 expression term - expression factor term ( expression ) factor term + expression number factor * factor term 1 number number factor / factor 3 5 number number 4 2

Syntaksdiagrammer expression: term: factor: term factor + * - / number ( )

Syntaksanalyse ved rekursiv nedstigning (top-down parsing) Et rekursivt Java-program til syntaksanalyse kan konstrueres direkte ud fra syntakstræerne. void expression() { term(); while (token == PLUS || token == MINUS) if (token == PLUS) { getToken(); term(); } else } static final int PLUS = 1, MINUS = 2, MULT = 3, DIV = 4, LPAR = 5, RPAR = 6, NUMBER = 7, EOS = 8; int token;

void term() { factor(); while (token == MULT || token == DIV) if (token == MULT) { getToken(); factor(); } else } void factor() { if (token == NUMBER) ; else if (token == LPAR) { getToken(); expression(); if (token != RPAR) error("missing right paranthesis"); } else error("illegal factor: " + token);

Eksempel på kald: StringTokenizer str; void parse(String s) { str = new StringTokenizer(s,"+-*/() ",true); getToken(); expression(); } Eksempel på kald: parse("(3*5+4/2)-1");

void getToken() { String s; try { s = str.nextToken(); } catch(NoSuchElementException e) { token = EOS; return; if (s.equals(" ")) getToken(); else if (s.equals("+")) token = PLUS; else if (s.equals("-")) token = MINUS; else if (s.equals("*")) token = MULT; else if (s.equals("/")) token = DIV; else if (s.equals("(")) token = LPAR; else if (s.equals(")")) token = RPAR; else { Float.valueOf(s); token = NUMBER; catch(NumberFormatException e) { error(”number expected"); }

Beregning af aritmetiske udtryk Beregning kan opnås ved få simple ændringer af syntaksanalyse-programmet. Analysemetoderne skal returnere med deres tilhørende værdi (i stedet for void). float valueOf(String s) { str = new StringTokenizer(s,"+-*/() ",true); getToken(); return expression(); } Eksempel på kald: float r = valueOf("(3*5+4/2)-1");

float expression() { float v = term(); while (token == PLUS || token == MINUS) if (token == PLUS) { getToken(); v += term(); } else { getToken(); v -= term(); } return v; } float term() { float v = factor(); while (token == MULT || token == DIV) if (token == MULT) { getToken(); v *= factor(); } else { getToken(); v /= factor(); } return v; }

float factor() { float v; if (token == NUMBER) v = value; else if (token == LPAR) { getToken(); v = expression(); if (token != RPAR) error("missing right paranthesis"); } else error("illegal factor: " + token); return v;

void getToken() { String s; try { s = str.nextToken(); } catch(NoSuchElementException e) { token = EOS; return; if (s.equals(" ")) getToken(); else if (s.equals("+")) token = PLUS; else if (s.equals("-")) token = MINUS; else if (s.equals("*")) token = MULT; else if (s.equals("/")) token = DIV; else if (s.equals("(")) token = LPAR; else if (s.equals(")")) token = RPAR; else { try{ value = Float.valueOf(s).getFloat(); token = NUMBER; catch(NumberFormatException e) { error(”number expected"); }

Ugeseddel 5 9. oktober - 16. oktober • Læs kapitel 12 og 13 i lærebogen (side 331-365) • Løs følgende opgaver 5-1. Opgave 10.2 5-2. Opgave 11.2 5-3. Opgave 11.3 5-4. Løs opgaven på næste side.

Møntproblemet En 20-krone, en 10-krone, en 1-krone og en 25-øre er lagt på et bræt med 5 felter, som vist nedenfor. Opgaven går ud på at placere mønterne i omvendt rækkefølge i de 4 felter længst til højre på brættet, ved anvendelse af færrest muligt antal træk. I hvert træk flyttes en mønt et felt til højre eller venstre. Mønterne kan stables, men i et træk må kun den øverste mønt i en stabel flyttes, og en mønt må aldrig placeres ovenpå en mønt, der er mindre. Løs denne opgave ved hjælp af et Java-program 20 10 1 25 1 10 20 25