Et eller andet datalogi… Gerth Stølting Brodal Institut for Datalogi Aarhus Universitet Voronoi Diagrammer Datalogi, Studiestart 2013.

Præsentationer af emnet: "Et eller andet datalogi… Gerth Stølting Brodal Institut for Datalogi Aarhus Universitet Voronoi Diagrammer Datalogi, Studiestart 2013."— Præsentationens transcript:

1 Et eller andet datalogi… Gerth Stølting Brodal Institut for Datalogi Aarhus Universitet Voronoi Diagrammer Datalogi, Studiestart 2013

2 AU Gerth Ph.d. Datalogi, Aarhus Universitet (1989-1997) Ansat ved Institut for Datalogi (1998-) Forskning og undervisning: Algoritmik Gymnasium Aabenraa 85 88899397989596 PhD Post Doc AU 83 2

3 Ph.d. Algoritmik på Datalogi 1.år dPerspdIntProgCalculus 1 ComputerArkitekturdProg2Calculus 2 dADS1dWebTecdIntDesign dADS2dProgSprogdRegAut 2. år dDBdBerLogPervasive Int. Mat. ModelleringSoftwareArkitekturdConc Mat. Modellering 1dDistSys VidenskabsteoridSik 3. år dOvs Optimering dEkspSys Kombinatorisk Søgning 4. år Computational Geometry Alg. Engineering Randomiserede Alg.Strengalgoritmer 5. år Avancerede Datastrukturer I/O Algoritmer Speciale Andre algoritmikkurser Algoritmer i bioinformatik Dynamiske algoritmer Spilteori Machine learning Kompleksitetsteori … Denne forelæsning 3

4 Punkter og Linier koordinater = heltal 0..4294967295 p1p1 p2p2 irrational p3p3 overløb ≤ 2  4294967295 2 1)Undgå kvadratrødder 2)Vurder størrelsen af mellemresultater 4

5 Punkter og Linier koordinater = heltal 0..4294967295 p1p1 p2p2 P3P3 5 q 2 = q 1 + p 1 -p 2 = (a 2,b 2 ) p 3 tættest på p 2 p 3 til venstre for linien gennem q 1 og q 2 (a 1 -x 3 )  (b 2 -y 3 ) - (b 1 -y 3 )  (a 2 -x 3 ) > 0 q 1 = (p 1 +p 2 )/2 = (a 1,b 1 ) Gang alle koordinater med 2 for at ungå 1/2 Ikke heltal

6 Punkter og Linier koordinater = heltal 0..4294967295 p1p1 p2p2 p3p3 6 p4p4 (x,y)(x,y) (x 1 y 2 - y 1 x 2 )  (y 3 - y 4 ) - (y 1 - y 2 )  (x 3 y 4 - y 3 x 4 ) (x 1 y 2 - y 1 x 2 )  (x 3 - x 4 ) - (x 1 - x 2 )  (x 3 y 4 - y 3 x 4 ) (x 1 - x 2 )  (y 3 - y 4 ) - (y 1 - y 2 )  (x 3 - x 4 ) x = y = 1)Linierskæringer har rationale koordinater 2)Regn med brøkker Ikke heltal

7 7 p2p2 p3p3 p4p4 p5p5 p1p1 Voronoi Celle

8 8 Voronoi Diagram 1)Voronoi knuder  centrum for cirkel med tre randpunkter 2)Største tomme cirkel har centrum i en Voronoi knude 3)”Uendelige” Voronoi kanter  kanter på det konvekse hylster Konvekse hylster

9

10 Descartes 1644 10 Dirichlet 1850, Voronoi 1908, Boldyrev 1909, …

11 alexbeutel.com/webgl/voronoi.html 11

12 Triangulering af Terrain Data 12

13 Hvilken Triangulering ? 13 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p8p8 p5p5 P9P9 p7p7 p6p6 spidse vinkler

14 Delauney Triangulering Voronoi diagram 14 Delauney trianguleringer maximerer mindste vinkel Dual Delauney triangulering

15 Inkrementel Konstruktion af Delauney Triangulering / Voronoi Diagram 15 Indsæt punkterne i tilfældig rækkefølge – Find flade + ”Flip” kanter Forventet O(1) ”flips” per indsættelse

16 Euler’s Sætning for Plane Grafer # knuder + # flader - # kanter = 2 15 + 4 - 17 = 2 (gælder for sammenhængende grafer der kan tegnes uden krydsende kanter) knude kant flade 16 Voronoi diagrammer og Delauney trianguleringer indeholder ≤ 3n segmenter

17 Voronoi Diagram af Linier 17

18 2. ordens Voronoi Diagram 18 A B AB

19 3. ordens Voronoi Diagram 19 ABC A B C

20 Længst Væk Voronoi Diagram 20 A A Konvekse hylster

21 Manhattan Bar A Bar B 21 Bar C You are here

22 Afstandsmål L 2 Voronoi Diagram L 1 Voronoi Diagram P1P1 P2P2 Euklidisk afstand = L 2 afstand Manhattan afstand = L 1 afstand 22

23 3D Voronoi Diagram 23

24 Computer Grafik : Voronoi Splinter 24 www.youtube.com/watch?v=FIPu9_OGFgc

25 Voronoi Art

26 Opsummering Algoritmik – et datalogisk forskningsområde Voronoi diagrammer = eksempel inden for delområdet ”computational geometry” Matematiske begreber og bevisførelser essentielle for at kunne arbejde med algoritmik www.cs.au.dk/~gerth/slides/voronoi13.pdf 26

27 27

28 Punkt Lokalisering (Trapez Dekomposition og Kort) 28