På udflugt med lyset Når lyset tager en omvej

Præsentationer af emnet: "På udflugt med lyset Når lyset tager en omvej"— Præsentationens transcript:

1 På udflugt med lyset Når lyset tager en omvej
”Kan det lade sig gøre at gøre noget usynligt?” Det lykkedes nogle eksperimentelle grupper at gøre nogle små objekter usynlige for mikrobølge-stråling i 2006, og vi vil se lidt på hvordan det kan lade sig gøre i det følgende.

2 Usynlighed Men først skal vi se på hvad jeg mener med usynlighed. Jeg mener ikke ”stealth” teknologi, som har eksisteret i mange år efterhånden. Stealth teknologi gør ting usynlige for radar, der fungerer ved refleksion af radiobølger – så der gør det ikke noget at kaste en ”radio”-skygge f.eks. Så det er altså ikke stealth vi skal snakke om.

3 Usynlighed Vi skal derimod snakke om ægte usynlighed, som man ellers kun finder på fiktionens verden, som ”Hollow Man” og ”Harry Potter”. Her er objektet usynligt fra alle leder og kanter fordi lyset går direkte igennem eller udenom det skjulte objekt, så man ser baggrunden. Det er denne form for usynlighed vi skal se nærmere på – og den samme som det er lykkedes at implementere i et eksperiment. Det handler altså om lys, og hvordan lys udbreder sig – så lad os genopfriske det!

4 Lys og elektromagnetisk stråling
Bølgeligningen Vakuum Bølgeligningen (homogent) lineært medie Maxwells ligninger beskriver lysets udbredelse i vakuum – eller et lineært medie. Med et lineært medie forstås et medie der reagerer som beskrevet med den dielektriske forskydning D og magnetfeltet – de inducerede felter er proportionale med det pålagte felt. Brydningsindekset normalt defineret ved \sqrt{c^2\mu \epsilon} og angiver hvor meget lysets fart bliver sænket.

5 Lineært medie

6 Ægte usynlighed er umuligt
Spredning på medie er givet ved dets randbetingelser Hvis vi vil undersøge muligheden af usynlighed er det derfor interessant at se lidt på løsningerne til Maxwells ligninger. Udfra løsningen til problemet på randen kan man rekonstruere \epsilon og \mu i det indre (Nachman)  randbetingelserne ved usynlighed er pr. definition de samme som ved tomt rum – man vil jeg netop skjule objektet, så derfor er usynlighed umuligt! Altså er usynlighed kun konsistent med at der ikke er noget at gøre usynligt! Nachman, The Ann. of Math. 128, 531 (1988)  

7 Og så alligevel ikke Sætningen udtaler sig ikke om anisotrope materialer: Hastigheden i mediet bliver retningsafhængig! Resultatet fra forrige slides er dog kun under antagelse af et isotropt medie. Hvis materialets respons er retningsafhængigt, eller tilsvarende, lysets hastighed afhænger af retningen igennem materialet gælder resultatet ikke nødvendigvis! Men elektromagnetiske anisotrope materialer kan der godt være langt imellem – og specielt hvis responsen og anisotropien skal være stærk nok til at kraftig afbøjning stråling omkring de optiske frekvenser. Så er det overhovedet en interessant retning at gå i forsøget på at lave usynlighed?

8 Metamaterialer Vi vil lidt på de såkaldte metamaterialer. Metamaterialer er kunstige periodiske strukturer, hvor perioden er meget mindre end bølgelængden af det lys man sender igennem det – præcis ligesom almindelige faste stoffer/krystaller, der er periodiske gitre, med periode meget mindre end lysets bølgelængde. Det metamateriale vi skal kigge på består af en række tynde og lange ledende cylindere, Hvor cylindernes indbyrdes afstand a er meget mindre end bølgelængden af lyset. Hvis vi påtrykker et eksternt, oscillerende magnetfelt Vil dette felt inducere en strøm j og et magnetfelt B_j Og det helle oscillerer med en frekvens omega. Det totale felt er jo blot superpositionen af de to felt-bidrag. Ved at regne Maxwells ligninger igennem – faktisk ved hjælp af helt standardmetoder fra Elektrodynamik (beregn fluxen og brug Faradays induktionslov) kan man vise At det gennemsnitlige H og B felt er relateret således – altså er der en effektiv permeabilitet. Ved at vælge parametrene rigtigt kan man få stærke mu. Det er præcis den samme strategi der er anvendt til at lave den usynlighed som vi skal se senere. Men det besvarer stadig ikke spørgsmålet om, hvorvidt det overhovedet kan lade sig gøre at vælge \epsilon og \mu så noget bliver usynligt. Faktisk forekommer meta-materialer i naturen Pendry, J. B., et.al.. IEEE trans. Micr.th. tech. 47, 11, 2075  

9 Metamaterialer i naturen
Eksempelvis har vi morpho-sommerfuglen, hvor farven ikke kommer fra et pigment, men fra strukturer mindre end bølgelængden for synligt lys. Struktur  påvirker elektromagnetiske egenskaber Morpho sommerfugl

10 Split Ring Resonator Smith et.al. Science 305, 788
Eksempel på menneskeskabt metamateriale, SRR. Giver negativt brydningsindeks for mikrobølger. 1) De små kredsløb vi ser her spiller den tilsvarende rolle i dette metamateriale som den ledende cylinder gjorde tidligere. Med metamaterialer kan vi altså konstruere mange forskellige og ekstreme elektromagnetiske egenskaber. Spørgsmålet man kan stille sig nu er – hvis vi har nærmest frit valg blandt \mu og \epsilon – hvad kan så lade sig gøre? Og hvordan kan vi studere det systematisk? Smith et.al. Science 305, 788

11 Transformationsoptik
Vi vil gerne have en måde at bruge denne frihed i at vælge dielektriske egenskaber. Ét svar på hvordan vi kan (systematisk) konstruere de nødvendige egenskaber kommer overraskende nok fra Generel Relativitetsteori. Man siger ofte at Einstein forudsage at tunge legemer vil afbøje lys som vist på figuren. Men det er faktisk ikke nødvendigvis den rigtige måde et sige det på – lyset bliver som sådan ikke afbøjet. Det følger den kurve der er tættest på at være den rette linie i 4 dimensioner. Banen ser kun kurvet ud fordi vi bruger et koordinatsystem der ikke tager højde for at rummet krummer – og i det koordinatsystem kan vi faktisk ligesågodt beskrive lysets udbredelse som var det i et di-elektrisk materiale! På samme måde kan vi lave et fiktivt koordinatsystem hvor lyset bevæger sig langs rette linier, mens det i ”det virkelige rum” bevæger sig langs krumme baner fordi det er under indflydelse af \epsilon og \mu.

12 Transformationsoptik
En systematisk teknik til at udvikle interessante brydnings-indeks profiler er ”Transformationsoptik”. For at illustrere hvad det går ud på ser vi først på en plan bølge. Denne bølge opfylder bølgeligningen og opfylder derfor k = omega c, dvs. bølgen udbreder sig med lysets hastighed. Hvis vi nu transformerer vores koordinatsystem, f.eks. med en lineær transformation A. Da vil det elektriske felt se således ud i de nye koordinater. Den rigtige bølgeligning i disse koordinater ser naturligvis anderledes ud, fordi Laplace-operatoreren ser anderledes ud (ligesom for cylinder koordinater osv). Men hvis vi nu lod som om at vi stadig var i et almindeligt Cartesisk koordinatsystem får vi følgende relation. For en uniform skalering bliver brydningsindekset altså 1/\lambda og i det generelle tilfælde vil \epsilon og \mu være retningsafhængige! Strategien er her at vi nemt kan forstå lysets udbredelse i det oprindelige koordinatsystem– her bevæger lysets sig langs rette linier (geometrisk optik) og i det nye system vil disse linier være afbøjede. På den måde kan vi forestille os en koordinat-transformation der giver os de ønskede baner for lyset – og med en tilsvarende udregning som ovenfor kan man bestemme hvilket \epsilon og \mu der giver anledning til de baner! For at dette skal kunne bruges til noget skal transformationen dog være stedafhængig og ovenstående analyse er da for simpel. Her kan man med fordel bruge differential geometri som det naturlige matematiske sprog – det er også dette sprog generel relativitetsteori er formuleret i.

13 Et hul i verden Pendry, J. B., et.al. Science 312, 1780
Her kunne vi godt bruge et eksempel. 0) Hvis vi starter med en situation hvor lyset bevæger sig langs rette linier, som på figuren ovenfor. Hvis vi så derefter deformerer punktet ud til en ny radius R_1 men beholder den ydre radius R_2 på plads. Så vil koordinatlinierne bøje sig som vist, og koordinatlinierne vil aldrig komme indenfor radius R_1. Som nævnt før, så giver sådan en transformation netop anledning til effektive epsilon og mu, hvis vi gerne vil se billedet på højre som det fysiske medie. Billedet til venstre er så ikke et fysisk rum, men det rum hvor lyset bevæger sig langs rette linier – eller alternativt, det er i de koordinater hvor lyset bevæger sig langs en ret linie. Og i de koordinater er cirkelskiven R_1 blevet mast sammen til et punkt, og er derfor effektivt usynligt for elektromagnetisk stråling. Et af problemerne med denne tilgang er dog at \epsilon og \mu opfører sig meget voldsomt inde omkring det beskyttede område. Pendry, J. B., et.al. Science 312, 1780

14 Et hul i verden Denne koordinat-transformation svarer til de elektromagnetiske egenskaber vist hernede, og de I ser på figuren er banerne få lysstrålerne i et sådant medie (beregnet uafhængigt). Bemærk at parametrene er stærkt anisotrope, dvs. de kan være meget forskellige afhængig af hvilken retning lyset bevæger sig i. Specielt kan vi også se at for r’ = R_1 er epsilon_r og mu_r = 0 – en meget ekstrem værdi som ikke kan konstrueres rent fysisk – men man kan komme meget tæt på.

15 Usynlig (for mikrobølger)
Metamateriale svarende til forrige slide, bare i cylinder-koordinater og nogle lidt afslappede krav. Schurig, et. al. Science 314, 977

16 Usynlig (for mikrobølger)
C) Ledende cylinder D) Ledende cylinder inde i cloak Bemærk reduktion af både refleksion og skygge-effekter. Refleksion i D) skyldes et design-valg. Schurig, et. al. Science 314, 977

17 Kan vi slække kravene? Monokromatisk lys
Langsomt varierende brydnings-indeks

18 Konform transformationsoptik
I 2 dimensioner Hvis hvor Det vil sige intet brydningsindeks! Vi behøver ikke nødvendigvis kunne skjule et objekt fuldstændigt matematisk. I mange tilfælde kan vi nøjes med at lyset bliver lidt forsinket når det passerer igennem usynligheds-kappen, men kun sørge for at retningen kommer ud rigtigt. Matematisk set kan vi nøjes med at studere lyset i grænsen for geometrisk optik – det vil sige hvis lysets bølgelængde er meget større end variationen af n. 0) Vi vil nu begrænse os til at se på et to-dimensionelt problem, altså hvor lyset bevæger sig i et plan. I geometrisk optik adlyder lyset ovenstående differential-ligning, Der i to-dimensioner kan skrives i termer af de komplekse koordinater z = x \pm i y Hvis nu brydnings-indekset (tilfældigvis) viste sig at være den absolutte værdi af den afledte af en eller anden funktion f, Kan vi lave en koordinattransformation w = f(z) således at i disse koordinater bevæger lyset sig langs rette linier. Bemærk at dette er det samme som vi gjorde før – bare formuleret i omvendt rækkefølge. Her transformerer vi fra et medie med brydningsindeks til et medie hvor brydnings-indekset er 1. Som eksempel kan vi tage følgende brydnings-indeks der stammer fra den angivne funktion. Eksempel:

19 Konform transformationsoptik
Et billede af n.

20 Et optisk sort hul Hvis vi prøver at regne ud hvordan lyset bevæger sig i sådan et brydnings-indeks får man det viste resultat. De blå baner (lyset fra højre) kommer fint ind og bliver afbøjet rundt om centrum og vender tilbage på deres oprindelige rute igen. De røde baner, dvs. lys nedefra, bliver ubønhørligt tiltrukket centrum og kommer aldrig væk derfra igen – her går brydningsindekset mod uendligt, så det er ikke så godt (ej heller så fysisk!). Denne opførsel kan vi dog forstå udfra den funktion vi snakkede om før: 1) w = z + a^2/z. Trods denne funktion enkelthed så er den ikke se nem lige at forstå. Eksempelvis så vil to forskellige z altid gå over i det samme w. Lad os se lidt nærmere på det:

21 Kan vi forstå w? Hvis vi kigger på punkter i z-planen (Det vil sige det fysiske rum!) der ligger udenfor cirklen med radius a Så vil disse punkter bliver sendt over i hele w-rummet (det vil sige der hvor lyset bevæger sig langs rette linier). Eksempelvis bliver den røde cirkel her sendt over i denne lidt flade cirkel i w Og den blå linie her bliver sendt over i denne afbøjede linie Cirkel med radius a bliver så sendt over i den sorte linie (der går fra -2a til 2a). Ligesom før bliver den ”ydre del” klasket sammen til en streg, hvor det var et punkt før.

22 Kan vi forstå w? Hvis vi kigger på punkter i z-planen (Det vil sige det fysiske rum!) der ligger udenfor cirklen med radius a Så vil disse punkter bliver sendt over i hele w-rummet (det vil sige der hvor lyset bevæger sig langs rette linier). Eksempelvis bliver den røde cirkel her sendt over i denne lidt flade cirkel i w Og den blå linie her bliver sendt over i denne afbøjede linie Cirkel med radius a bliver så sendt over i den sorte linie (der går fra -2a til 2a). Ligesom før bliver den ”ydre del” klasket sammen til en streg, hvor det var et punkt før.

23 Kan vi forstå w? Hvis vi kigger på punkter i z-planen (Det vil sige det fysiske rum!) der ligger udenfor cirklen med radius a Så vil disse punkter bliver sendt over i hele w-rummet (det vil sige der hvor lyset bevæger sig langs rette linier). Eksempelvis bliver den røde cirkel her sendt over i denne lidt flade cirkel i w Og den blå linie her bliver sendt over i denne afbøjede linie Cirkel med radius a bliver så sendt over i den sorte linie (der går fra -2a til 2a). Ligesom før bliver den ”ydre del” klasket sammen til en streg, hvor det var et punkt før.

24 Kan vi forstå w? Hvis vi ser på den indre cirkel bliver den faktisk også sendt over i hele w-planen! Den ydre cirkel (radius a) bliver igen ført over i en linie fra -2a til 2a Mens centrum (den sorte klat) bliver sendt ud til uendligt (pga 1/z-delen). Man kan sige at den indre cirkel bliver vendt på vrangen af 1/z-leddet. Hvis vi gerne vil se hvordan lyset bevæger sig i w-rummet er vi nødt til at se på hele w-rummet som helhed – de to w-rum hænger jo sammen ved cirklen med radius a.

25 Kan vi forstå w? Ydre Indre
Som sagt hænger de to w-rum sammen ved cirklen, der i w-rummet svarer til en linie fra -2a til 2a. Vi kan derfor tænke på at der er to ark af det komplekse plan der er limet sammen på denne linie. Så på det øvre (eller ydre) ark har vi udenfor cirklen og på det nedre/indre ark er det indre af cirklen. På det øvre ark ligger uendelig i z også i uendelig i w, men på det nedre ark svarer w = \infty til z = 0. Det kan vi også se ved hjælp af de to figurer fra før

26 Et optisk sort hul Ydre Indre
Vi kan opsummere w-rummet med en 3-dimensionel figur hvor vi har limet de to ark sammen Her er w-rummet så, På figuren svarer den øvre del til udenfor cirklen Og den nedre del svarer til cirklen med radius a. Bemærk at det kun er et udsnit af w-rummet da både toppen og bunden jo går helt ud til uendelig. Toppen og bunden på 3D-figuren svarer helt analogt til toppen og bunden på figuren fra før – men nu kan vi bare se på baner der bevæger sig rundt på hver deres flade. Figuren er godtnok i 3D, men husk på at det i virkeligheden bare er to kopier af det komplekse plan limet sammen ved den røde linie her. Så værdierne af ”w” på fladen svarer til deres projektion ned på xy-planen – her bliver det også meget tydeligt at for to forskellige værdier af z svarer ét w – nu har vi bare udvidet w til også at bære denne information, som så er indkodet ved om det w ligger på det indre eller ydre ark. Ydre Indre

27 Et optisk sort hul Ydre Indre
Så med eksemplet fra før kan vi beskrive lysets baner i z-rummet ved at kigge på de rette linier de laver i w-rummet. Eksempelvis kan vi se på den røde linie der ikke går ind mod midten – det sværer til at lyset præcis undgår cirklen med radius a. I w-rummet undgår lysstrålen altså hullet (linien fra -2a til 2a) og fortsætter derefter upåvirket videre mod uendeligt. En af de røde linier der bliver absorberet rammer derimod hullet, så det bliver ført ned på det indre w-ark. Som i også kan se på den flade figur fra før, så kommer lyset fra det ydre uendelig, krydser ned på det indre ark og fortsætter mod dette arks uendelig (som svarer til 0 i fysisk z-rum). Eftersom lyset bevæger sig i en verden med brydnings-indeks 1 i w-rummet kan vi også heraf konkludere at det vil tage lyset uendlig lang tid at nå hen til 0 (i z-rum)– netop fordi det svarer til at lyset skal bevæge sig ud til uendelig i det frie w-rum. Fremhæv analogien til sort hul. Sml med projektil. Vi kan nu se hvad vi skal gøre for at gøre noget usynligt. Vi skal sørge for at vælge et brydnings-indeks på det indre w-ark således at lyset bliver guided rundt i en cirkel og tilbage ud igennem linien fra -2a til 2a. Ydre Indre

28 Lyset vender hjem Vælg brydningsindeks på indre flade med lukkede baner: Ydre Indre Dette kan gøres ved at vælge brydnings-indekset som vist (i w-rum). Det angivne brydnings-indeks er velstuderet og svarer til en velkendt type (teoretisk) linse Eaton-linsen, men er også analog til planet-bevægelse, der jo som bekendt har lukkede baner. Som sagt vælger vi dette brydnings-indeks på det indre plan Som vist Det brydnings-indeks kan vi føre tilbage til fysisk rum ved hjælp af den omvendte transformation så vi får et effektivt resulterende brydnings-indeks. Vi har altså både transformationsoptik og brydnings-indeks i det matematisk-frie rum.

29 Lyset vender hjem Vælg brydningsindeks på indre flade med lukkede baner: Hvis man gør det forsvinder divergensen i brydnings-indekset og vi ender med et brydningsindeks der varierer fra 0 til 36. Hvis man kigger på lysets baner i det brydnings-indeks har vi som før banerne der gå udenfor cirklen og bare bliver sendt videre, men de baner der kommer ned på det indre ark bliver afbøjet rundt i en cirkel og bliver ført tilbage til det øvre ark med samme retning som da det blev trukket ned på det nedre ark. Pointen er nu, at alt lyset kommer ind på det indre ark på linien fra -2a til 2a, så derfor vil der være et område på det nedre ark hvor lyset aldrig kommer hen. Det er i dette område vi kan gemme noget, så det effektivt set, bliver usynligt! Men bemærk at der er tale om et fuldstændigt isotropt medie – det som vi sagde var umuligt i starten er nu blevet muligt! Hvordan kan det være? Den oprindelige sætning sagde at vi ved kendskab til feltet langt væk kan rekonstruere \epsilon og \mu – men vi skal altså kende feltet fuldstændigt. Det der kan ske i denne situation er at lyset langs nogle af banerne bliver forsinket, så det kan give en forskydning i fase af lyset og i ekstreme tilfælde små forvrængninger – men alt sammen noget der ikke normalt kan detekteres med det menneskelige øje. Usynligt

30 Opsummering Makroskopiske elektromagnetiske egenskaber er en sammensværgelse Generel relativitetsteori kan bruges til at forstå optik Usynlighed kan opnås på flere forskellige måder med denne forståelse Eksperimentelt realiseret

31 På udflugt med lyset Når lyset tager en omvej Tak for opmærksomheden
”Hvordan kan man gøre noget usynligt?” Det lykkedes nogle eksperimentelle grupper at gøre nogle små objekter usynlige for mikrobølge-stråling i 2006, og vi vil se lidt på hvordan det kan lade sig gøre i det følgende.