Kognitions rolle i matematik

Præsentationer af emnet: "Kognitions rolle i matematik"— Præsentationens transcript:

1 Kognitions rolle i matematik
Kognition og uendelighed Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler DASG, Middelfart den 16. september 2013

2 Jeppe Hein: Distance på Aros kunstmuseum
Embodiment: Vores bevidsthed struktureres af vores sansemotoriske erfaringer Jeppe Hein: Distance på Aros kunstmuseum

3 Hvordan tænker vi? Hvordan virker hjernen?
”Fordi vi ikke forstår hjernen særlig godt, fristes vi hele tiden til at bruge den nyeste teknologi som en model for at prøve at forstå hjernen. I min barndom blev vi altid forsikret om, at hjernen var et omstillingsbord for telefonsamtaler. (’Hvad skulle det ellers være?’). Det morede mig at se, at Sherrington, den store engelske neuro-videnskabsmand, forestillede sig at hjernen virkede som et telegraf-system. Freud sammenlignede ofte hjernen med hydrauliske og elektromagnetiske systemer: Leibniz sammenlignede den med en mølle; Og jeg er blevet fortalt, at de gamle grækere forestillede sig at hjernen virkede som en katapult. For tiden er metaforen selvfølgelig den digitale computer.” John Searle, Minds, Brains and Science (1984) Aksel Tofte, Seksuel hygiejne (1957)

4 Den første kognitive revolution: 60’erne
Turing’s revolution: Allan Turing 16 år gammel da Hans første ven han begynder i gymnasiet Christopher Morcom Vennen dør 2 år efter! Turing beslutter sig for at forstå den menneskelige bevidsthed og specielt finde ud af, om den kan eksistere uden en krop!

5 Turingmaskinen og Turing testen
Al meningsfyldt tænkning er algoritmisk og kan simuleres af en Turingmaskine Turing testen (1950): Kan maskiner tænke? (Turing selv regnede med at testen ville lykkes i 2000!) Wiener (1964): Mennesker og maskiner – en fælles struktur (det er softwaren – ikke hardwaren, der er afgørende!

6 Den universelle Turingmaskine

7 Status for Artificial Intelligence
1997 : IBM’s compu- ter Deep Blue vinder over verdensmeste- ren i skak på turne- ringsvilkår. 2011: IBM’s computer Watson vinder over to af verdens førende Jeopardy eksperter på basis af 4 TeraByte information herunder adgang til Wikipedia.

8 Status for Artificial Intelligence
Wolfram Alpha (2009) Vidensmaskine

9 Den anden kognitive revolution (80’erne) Hvad vil det sige at forstå matematik?
Metaforen er den grundlæggende mekanisme, der gør abstrakt tænkning mulig. Al matematik er menneskeskabt. 1. Kropslig forankring (embodiment) af bevidstheden. Det gælder også for vore matematiske begreber og ræsonnementer. 2. Det kognitive ubevidste. Størstedelen af vores tankevirksomhed er ubevidst –Det gælder også hovedparten af den matematiske tankevirksomhed. 3. Metaforisk tænkning. Ved matematisk tænkning benyttes også begrebsmæs-sige metaforer, som når vi fx tænker på tal som punkter på en linje. 2000

10 Metaforer om matematik
I keep the subject of my inquiry constantly before me, and wait till the first dawning opens gradually, by little and little, into a full clear light. Newton Wiles: Fermat’s last theorem

11 Billedskemaer Dansk: Container-skemaet Dansk: Kilde-vej-mål-skemaet

12 Introduktion til blending og metaforer i matematik
Blending: To forskellige inputrum afbildes på et fælles outputrum (blendingen) som dels arver egenskaber fra begge inputrummene, dels udvikler sine egne særegne karakteristiske egenskaber som konsekvens af blendingen: 2002 Gåden om den buddhistiske munk.tns

13 Historien bag gåden om den buddhistiske munk:
Fauconnier har den fra Koestler: The act of creation (1964). Koestler kalder den bare for ‘a famous brain-teaser’. Gardner har den med i sine samlinger af matematiske gåder, hvor han tilskriver den den tyske gestaltpsykolog Karl Dunckner, der skrev en skelsættende bog om problemløsning (1945): Duncker writes of being unable to solve it and of observing with satisfaction that others to whom he put the problem had the same difficulty. There are several ways to go about it, he continues, "but probably none is ... more drastically evident than the following. Let ascent and descent be divided between two persons on the same day. They must meet. Ergo.... With this, from an unclear dim condition not easily surveyable, the situation has suddenly been brought into full daylight."

14 Kognition og didaktisk matematik: De tre måder at tænke på
i matematik (David Tall) Procept: Proces-Concept Duality

15 Matematikkens Janushoved:
Intuition versus logik Kreativitet versus stringens Eksperiment versus bevis Matematik skal ikke bare bevises, men også konstrueres/opdages: Før man kan bevise en sætning må man via eksperimenter, under- søgelser, gætteværk osv. finde frem til den. Matematik skal ikke bare udføres, men også forstås: Her kommer den moderne kognitionsforskning afgørende ind i billedet: Hvad vil det sige at forstå? Katz and Tall: THE TENSION BETWEEN INTUITIVE INFINITESIMALS AND FORMAL MATHEMATICAL ANALYSIS Luzin (Moskva) som prototypen på den intuitive matematiker: Kan man lave en savtak-funktion med uendeligt mange takker? Luzin: Intuitivt ja! Takkerne bliver så blot uendeligt små! Luzins sav.tns

16 Kognition og didaktisk matematik:
Reification as the birth of metaphor (Anna Sfard) When I have a new concept, I need a human metaphor. Personification of the concept. Or a spatial metaphor. A new metaphor of structure. Only when I have it can I answer questions, solve problems, perform manipulations. I can do this only after I have the metaphor. … When do you feel that you have really understood something? It is only when you are perfectly certain, without having to check, that things must be exactly the way they are. It’s like in the case of an intimate familiarity with a person. With such a person you often know what he is going to do without having to ask … Like a person whom you really know and understand , (the mathematical construct) will perform certain operations or will react in a certain way to your action. This intimacy is exactly what I had in mind: you know what is going to happen without making any formal steps. Of course, as in the case of human relationships, you may sometimes be wrong! (Interview with a Set Theoretician without formal knowledge of cognitive science) Professionelle matematikere tænker intuitivt i metaforer!

17 Mikkel Willum Johansen: Naturalism in the philosophy of mathematics
Modeller som metaforer

18 Abraham Lincoln (1809-1865) Aksiomatisk-deduktiv tænkning
"In the course of my law reading I constantly came upon the word demonstrate. I thought, at first, that I understood its meaning, but soon became satisfied that I did not. I said to myself, What do I do when I demonstrate more than when I reason or prove? How does demonstration differ from any other proof? Abraham Lincoln ( ) At last I said,—Lincoln, you never can make a lawyer if you do not understand what demonstrate means; and I left my situation in Springfield, went home to my father's house, and stayed there till I could give any proposition in the six books of Euclid at sight. I then found out what demonstrate means, and went back to my law studies."

19 Transformationsgeometri: Flytninger som bevægelser
Pythagoras sætning Pythagoras sætning som flisedækning.tns

20 De fire rodmetaforer for tal
Samlings-metaforen for tælletal (naturlige tal) 2. Byggeklods-metaforen for deletal (rationale tal) 3. Målestoks-metaforen for måletal (irrationale tal) 4. Bevægelses-metaforen for vilkårlige tal (negative tal) Den sidste metafor bygger altså på en opfattelse af tal som punkter på en linje.

21 Om negative kvadrattal og deres imaginære rødder (Wallis, 1685)
Men det er også umuligt, at en størrelse … kan være negativ. For det er ikke muligt for en størrelse at være mindre end ingenting, eller for et antal at være færre end ingen. Ikke desto mindre er forestillingen (om de negative tal) hverken unyttig eller absurd når den forstås rigtigt. Og det skønt den i forhold den algebraiske skrivemåde henviser til en størrelse, som er mindre end ingenting. For når det kommer til en fysisk anvendelse, betegner det en størrelse, der er lige så virkelig, som hvis fortegnet var +. Men den skal fortolkes på modsat vis. Lad os tage et eksempel: Antag, at en person er rykket fem meter frem fra A til B. Og at han så trækker sig to meter tilbage (fra B til C). Jeg spørger nu: Hvor langt er han rykket frem (i løbet af hele turen), når han er kommet til C? Eller: Hvor mange meter er han rykket frem i forhold til udgangspunktet A? Så finder jeg (ved at trække 2 fra 5) at han er rykket 3 meter frem (eftersom +5 – 2 = +3). A B C D Men hvis han, når han rykker 5 meter frem til B, derefter trækker sig 8 meter tilbage til D, og vi spørger: Hvor langt er han rykket frem, når han er kommet til D, eller hvor meget er han gået frem i forhold til A? Så siger jeg –3 meter (eftersom +5 – 8 = –3). Det vil sige han er rykket 3 meter mindre frem end ingenting. Dette er ikke en meningsfyldt talemåde … Men i normal tale burde vi sige følgende: Han er rykket 3 meter bagud eller han mangler 3 meter i at være lige så langt fremme, som da han var i A. … Så +3 betyder 3 meter fremad; og –3 betyder 3 meter bagud: Men stadigvæk langs den samme rette linje.

22 Leibniz: Nova Methodus 1684 (den nye metode til at finde maksima og minima – differentialregningens fødsel!)

23 Newton 1760: Enumeration of lines of the third order.

24 Blending og metaforer i matematik
Tallinjen bygger på metaforen: Tal er punkter på en linje. Blending: To forskellige inputrum afbildes på et fælles outputrum (blendingen) som dels arver egenskaber fra begge inputrummene, dels udvikler sine egne særegne karakteristiske egenskaber som konsekvens af blendingen. Tallinjen er en blending af den rette linje fra geometri og tallene fra aritmetik. Den tillader os at se på tal på en helt ny måde og ikke mindst finde en plads til de negative tal! Vi kan fx tale om at 'to tal ligger tæt på hinanden' eller at 'en serie af tal ligger ækvidistant' ...

25 Multiple repræsentationer i matematik:
Kognitive værktøjer I Inskriptioner: De mest fundamentale repræsentationer er tekster baseret på alfanumeriske tegn: bogstaver og tal. Bemærkning: Der findes højkulturer, der kun kendte til repræsentationer af tal, fx Inkariget. Løbende embedsmand fra Inkariget med sin karakteristiske konkylie, sin quipu (talsnore) og sin rygsæk. Quipu: Inkaernes regnemaskine (abakus) Inkarigets vejnet med de to hovedveje ved havet og inde i landet, bundet sammen af utallige forbindelses- og sideveje, I alt over km veje.

26 Multiple repræsentationer i matematik:
Tekster, tabeller, grafer og formler Propositiones ad acuendos juvenes XXVI. PROPOSITIO DE CVRSV CANIS AC FVGA LEPORIS. Est campus, qui habet in longitudine pedes CL. In uno capite stabat canis, et in alio stabat lepus. Promouit namque canis ille post illum, scilicet leporem currere. Ast ubi ille canis faciebat in uno saltu pedes VIIII, lepus transmittebat VII. Dicat, qui uelit, quot pedes, quotque saltus canis persequendo, et lepus fugiendo, quoadusque comprehensus est, fecerunt]. 26. Problemet med den jagende hund og den flygtende hare “En mark er 150 fod lang. I den ene ende er der en hund, i den anden en hare. Hunden jager haren, da denne løber væk. Hunden flytter sig 9 fod i et spring, mens haren flytter sig 7 fod. Hvor mange fod skal den forfølgende hund og den flygtende hare tilbagelægge før haren er nedlagt?”

27 Metaforisk analyse (den skjulte forståelse I):
26. Problemet med den jagende hund og den flygtende hare “En mark er 150 fod lang. I den ene ende er der en hund, i den anden en hare. Hunden jager haren, da denne løber væk. Hunden tilbagelægger 9 fod i et spring, mens haren tilbagelægger 7 fod. Hvor mange fod skal den forfølgende hund og den flygtende hare tilbagelægge før haren er nedlagt?” Metaforisk analyse (den skjulte forståelse I): ”En mark er 150 fod lang” Rum er tal: antal fod Vi gør rummet konkret ved at skridte det af: Så og så mange fod! Målestokken for rummet er én fod. ”Hunden tilbagelægger 9 fod i et spring, mens haren tilbagelægger 7 fod” Tid er tal: antal spring Vi gør tiden konkret ved at tælle antal spring (der fungerer som en metronom: Springene tager lige lang tid!). Målestokken for tiden er ét spring.

28 Løsning: Længden af marken er 150 fod
Løsning: Længden af marken er 150 fod. Tag halvdelen af 150, som giver 75. Hunden tilbagelægger 9 fod i et spring. 75 gange 9 er 675; dette er antallet af fod, som den forfølgende hund tilbagelægger før han får fat i haren med sin gribende mund. Eftersom haren tilbagelægger 7 fod, skal vi gange 75 med 7, hvorved vi får 525. Dette er antallet af fod som den flygtende hare tilbagelægger før den er fanget. I den klassiske løsning analyserer man bevægelsesmønstret (den skjulte forståelse II): I hvert spring mindskes forspringet med 9 fod – 7 fod = 2 fod. ”Længden af marken er 150 fod”. Til at begynde med er forspringet 150 fod. ”Tag halvdelen af 150, som giver 75.” Forspringet forsvinder derfor efter 150/2 spring = 75 spring. …

29 Kognitive værktøjer II Tabelrepræsentation Kognitive værktøjer III
Tal kan organiseres i lodrette lister. Lister kan samles på langs i tabeller. En tabel strukturerer tallene i sammenhørende lister og kan derfor bruges til at gennemskue sammenhænge mellem de variable, der indgår i problemet. Kognitive værktøjer III Grafrepræsentation Grundlæggende metafor: Tal er punkter på en linje = tallinjen Den tilbagelagte afstand kan afbildes som punkter på en tallinje (rum er tal). Den tilbagelagte tid kan afbildes på en tallinje (tid er tal). Tallinjerne kan blendes i et koordinatsystem. Katja Wagner: Tabeller og grafer som metaforiske repræsentationsrum!

30 Kognitive variable III: Fra statiske til dynamiske variable
Numeriske variable som bevægelse: Skyderen Skyderen som variabel.tns I tabeller repræsenteres variable som lister – det er en statisk repræsentation. Hele variablen fremlægges på en gang. Vi kan løbe listen igennem, men alle værdierne er der fra start. I grafer repræsenteres variable som tallinjer/akser i et koordinatsystem - det er igen en statisk repræsentation. Hele variablen fremlægges på en gang: Vi kan løbe aksen igennem, men alle værdierne er der fra start. I regneark er en variabel repræsenteres variablen ved en celle, der viser hvilken aktuel værdi den lagrede variabel har. Der findes et specielt lighedstegn := der tildeler variablen en værdi. I formler er variablen repræsenteret ved et symbol, et bogstav eller et navn. Metaforisk kan man tænke på den symbolske variabel som et “kort med en skjult værdi”. På forsiden af kortet står bogstavet for variablen – på bagsiden står den aktuelle tilfældige værdi. Først når man vender kortet kan man få den skjulte værdi at se – hver gang man vender kortet vises en ny tilfældig værdi.

31 Mødet med uendelighed: Zenos paradokser
Zenons paradokser I: Tvedelingen “Den, der er i bevægelse, må først tilbagelægge halvvejen, før målet kan nås.” —Aristoteles, Fysikken VI:9, 239b10 Zenons paradokser II: Akilleus og skildpadden “I et væddeløb kan den hurtigste aldrig indhente den langsomste, for først skal forfølgende nå frem til det sted, hvorfra den forfulgte startede; derfor vil den forfulgte altid have et forspring.” —Aristoteles, Fysikken VI:9, 239b15

32 Akiresu to Kame

33 1981 13. malmen 1. abrikostræerne det lagdelte lys 2. bregnerne
som hvis brinten det er temmelig nyt følger nu søvngængerruten defolianterne alfabeterne 14. nætterne her står jeg så kanalen i Gävle der er noget særligt nu går drømmerne 1981 1. abrikostræerne 2. bregnerne 3. cikaderne 4. duerne 5. efteråret 6. fiskehejren 7. grænserne 8. hviskningerne 9. istiderne 10. juninatten atombomben 11. kærligheden et sted fragment brintbomben 12. livet midt i november sneen nu ingen panik fra et tog cobaltbomben

34 1981 1 abrikostræerne findes, abrikostræerne findes 2
bregnerne findes; og brombær, brombær og brom findes; og brinten, brinten 3 cikaderne findes; cikorie, chrom og citrontræer findes; cikaderne findes; cikaderne, ceder, cypres, cerebellum 4 duerne findes; drømmerne, dukkerne dræberne findes; duerne, duerne; dis, dioxin og dagene; dagene findes; dagene døden; og digtene findes; digtene, dagene, døden 5 efteråret findes; eftersmagen og eftertanken findes; og enrummet findes; englene, enkerne og elsdyret findes; enkelthederne findes, erindringen, erindringens lys; og efterlyset findes, egetræet og elmetræet findes, og enebærbusken, ensheden, ensomheden findes, og edderfuglen og edderkoppen findes, og eddiken findes, og eftertiden, eftertiden

35 forstøves og fnugger som fjer se den gråhvide bynke forvitre og synke
se den dejlige sommer de dueblå blommer forstøves og fnugger som fjer se den gråhvide bynke forvitre og synke til bunds i det uskabte ler i uendelighed der skrives de ind i det planløse spil hvor ingen kan vide om noget bliver til om det der er krage og lærke og stær for altid fortabt vil befinde sig der uendelighed mens et elmetræs blade fejes hen ad en gade og sommeren gråner af sod går jeg tur i alleen det er mørkt som når sneen en aften er frosset til blod her drejer jeg ind bag en kirkegårds mure hvor kun de forstenede duer går ture her lister de rundt til de finder et sted hvor stenhjertet siger dem freden slår ned defolianterne findes for eksempel dioxin der afløver træer og buske og ødelægger mennesker og dyr ved besprøjtning af afgrøder, skove opnår man løvfald og død midt i den frodigste sommer; … Katrine Ærtebjerg, The Purple Sky, 2007

36 Inger Christensen: Alfabet! En verden skabes ved hjælp
af Fibonaccistrukturen Tallene har altså mindst to meget synlige liv. Et liv som tegnsystem i naturvidenskabens tjeneste, især for materier uden for mennesket, hvor en sprogligt stum selvforståelse synes nødvendig, og et liv som symbolsystem i samfundet, i vores handel og vandel med verden og hinanden, vores absolut ufilosofiske skalten og valten, udlagt i handelstal, statistikker, budgetter m.m. Men i mellemrummene mellem tallenes mange liv i samfunds- livet har de et liv i sig selv, et liv vi er så indlejret i, at vi næsten ikke kan se det. På samme måde som øjet ikke kan se sin egen nethinde. Vi har indimellem en anelse om denne talverdens eksistens, men for det meste lader vi den være, som noget vi ikke har brug for. Denne oplevelse af talrækken som proces, og ikke bare mekanisk rækkefølge, har altid været tiltrækkende for mig, som forestillingen om en billedverden, en metafor for den usynlige verden, som ville svare til, men frem for alt sammenstille og strukturere forholdet mellem sproget og den synlige verden, den vi til daglig kalder ved navn. Sådan mener jeg, at både tale og tal er billedsprog, som griber ind i hinanden og er afhængige af hinanden, eftersom fænomenerne ikke kan træde frem uden om en fælles opretholdende struktur, mens en struktur omvendt ikke kan erkendes uden om fænome- nerne. Her er vi selvfølgelig tæt ved poesien.

37 Det er her matematikken kommer ind. Og kom ind i situationen
Det er her matematikken kommer ind. Og kom ind i situationen. For nok er besværgelsen af sproglig karakter - som når stenalderfolkene må have messet deres ord rundt om bålet for at holde mørket på afstand - men den er samtidig af rytmisk, musikalsk karakter og dermed i grunden af talkarakter. Det er åbenlyst, at et digt der vil beskrive verden som helhed (af naturlige grunde i forkortet form!) ikke bare kan opremse alverdens fænomener tilfældigt (og alfabetet er jo tilfældigt). Fænomenerne optræder ikke af sig selv i nogen hel sammenhæng, bare fordi de benævnes. Deres sammenhæng ligger skjult i det, der må have betinget deres tilsynekomst. For os ligger den skjult i bestandigt reviderede teorier om universets opståen. Alle går rundt med forestillinger om, hvordan verden er indrettet og forløber. På den tid, da alfabet blev skrevet, var Big-Bang-teorien den førende. Da universet blev født, skete der følgende: Alt, som i begyndelsen var presset sammen til næsten intet, eksploderede og spredte sig til alle sider, en bevægelse der vil fortsætte, indtil spredningen er så stor, at alting vil synes at forsvinde og blive til intet igen, eller næsten intet. Et billede altså. Som jeg selv kom til at opleve, nærmest som et syn, da jeg I min søgen efter ord tilfældigvis faldt over tal (i et leksikon under f) nemlig Fibonaccis talrække … Man kan måske betragte Fibonaccis række som en kuriositet (dens tal nærmer sig Det Gyldne Snit), men man kan åbenbart også, som jeg, opleve, at hvis man i poesien skal gøre rede for forholdet `mig plus verden', så åbenbarer dette plus sig som tallenes liv i sig selv. Hvis tallene, her Fibonaccis række, danner grundstrukturen i et sprogligt værk, optræder de uden videre som en spejling af den sammenhæng, sproget ikke selv kan nå. Det siger jeg, fordi jeg har oplevet Fibonaccis række som et digt, der befandt sig ude i ulæseligheden, men hvis formelle struktur jeg kunne presse ned over de indsamlede ord og deres fænomener. Derved har jeg skrevet et digt, som er forholdsvis læseligt, men som måske mest er det ved at pege på vores fælles ulæselighed.

38 Det gyldne snit og fibonaccitallene som uendelighedsmetaforer
Fibonaccitallene.tns

39 Superaktiviteter: Matematikkens tvetydighed
Zenos paradokser kan ikke løses med et matematisk fiks! En superaktivitet er en uendelig serie af aktiviteter udført på en endelig tid! Thomsons lampe Boldene i vasen En lampe tændes til tiden 0, slukkes efter et halvt minut, tændes efter et kvart minut osv. I hvilken tilstand er lampen efter 1 minut? Der lægges ti bolde i vasen, men der fjernes også en bold igen, til tiden 0. Der lægges ti nye bolde i vasen, men der fjernes også en bold, efter et halvt minut. Der læggges ti nye bolde i vasen, men der fjernes også en bold efter et kvart minut osv. Hvor mange bolde er der I vasen efter 1 minut?

40 Cantor og uendelighed Potentiel uendelighed: Vi har en proces, der kan fortsættes i det uendelige, fx at tælle 1, 2, 3, … . Aktuel uendelighed: Vi har en mængde med uendeligt mange elementer., fx mængden af de naturlige tal N = {1, 2, 3, …} Absolut uendelighed: Vi har en totalitet, der ikke kan udvides, fx Universet bestående af alle mulige tanker. Der er ingen tanker udenfor! The fear of infinity is a form of myopia that destroys the possibility of seeing the actual infinity, even though it in its highest form has created and sustains us, and in its secondary transfinite form occurs all around us and even inhabit our minds. The actual infinite arises in three contexts:  first when it is realized in the most complete form, in a fully independent other-worldly being, in Deo, where I call it the Absolute Infinite or simply Absolute; second when it occurs in the contingent, created world; third when the mind grasps it in abstracto as a mathematical magnitude, number, or order type. I wish to make a sharp contrast between the Absolute and what I call the Transfinite, that is, the actual infinities of the last two sorts, which are clearly limited, subject to further increase, and thus related to the finite.

41 Cantor og uendelighed II:
Galileis paradoks: Der er lige så mange kvadrattal som naturlige tal! … … Hilberts hotel Hvis der kommer uendeligt mange busser med uendeligt mange passagerer kan han så finde plads? Gamle gæster flyttes til 2’er-potenser: 2, 4, 8, 16, 32, 64, … Bus nr 1 indlogeres i 3’er potenser: 3, 9, 27, 81, 243, 729, … Bus nr 2 indlogeres i 5’er potenser: 5, 25, 125, 625, 3125, … osv. osv. Primtallene kommer direktøren til undsætning!

42 Den narrative struktur i hotel uendelig: En succesfuld direktør synes at kunne løse alle problemer, men gæsterne bliver stadigt mere frustrerede over at de hele tiden skal skifte værelser. Så de ender med at gøre oprør mod hotellets direktør: En af gæsterne, Professoren, lægger en snedig plan: Professorens beder direktøren reservere værelser, så all mulige komiteer af gæster kan mødes, og anmode om at få reserveret et værelse til julen, idet forskellige komiteer skal have reserveret forskellige værelser. Dette tvinger direktøren ind i en selvmodsigende tilstand han ikke kan slippe ud af, så han er tvunget til at trække sig tilbage!

43 Velkommen til helvede! Du får en chance for at slippe fri!
Smullyans djævlespil Ved ankomsten skriver djævlen et helt tal ( …, -3, -2, 1, 0, 1, 2, 3 …) på en seddel. Hvis du gætter tallet slipper du fri! Du har et gæt hver dag – kan du være sikker på at slippe fri? Ved ankomsten skriver djævlen et rationalt tal (uforkortelig brøk) på en seddel. Hvis du gætter tallet slipper du fri! Du har et gæt hver dag – kan du være sikker på at slippe fri? Djævlen skriver en endelig mængde af naturlige tal på en seddel (helvedes lotto, du ved ikke hvor mange tal han skriver!). Hvis du gætter tallet slipper du fri! Du har et gæt hver dag – kan du være sikker på at slippe fri? Djævlen skriver en vilkårlig mængde af naturlige tal på en seddel (allerhelvedes lotto, der kan stå uendeligt mange tal på sedlen!). Hvis du gætter tallet slipper du fri! Du har et gæt hver dag – kan du være sikker på at slippe fri?

44 En uendelig verden kan skabes ud af ingenting: Den tomme mængde {}.
Cantor og uendelighed III: Cantors triumf: Det uendelige hierarki af uendeligheder: Potensmængderne {a,b,c} har 3 elementer P({a,b,c}) = { {}, {a}, {b}, {c}, {ab}, {bc}, {ca}, {a,b,c} } har 2^3 = 8 elementer V0 = {} har 1 element. V1 = P(V0) = { {} } har 1 element. V2 = P(V1) = { {}, {{}} } har 2 elementer. V3 = P(V2) har 2^2=4 elementer. V4 = P(V3) har 2^4 = 16 elementer. V5 = P(V4) har 2^16 = elementer. V6 = P(V5) har 2^65536 En uendelig verden kan skabes ud af ingenting: Den tomme mængde {}.

45 Cantors sætning: En potensmængde har altid flere elementer end mængden selv! Hvis A er en mængde A = {a, b, c, …} så indeholder potenstmængden P(A) = {{}, {a}, {b}, {c} , … , {a,b}, … , A } flere elementer! Argument (inddirekte): Hvis der var lige mange kunne vi parre elementerne i A med delmængderne i P(A), dvs. til ethvert element x knyttes en delmængde Sx og vi får udtømt alle delmængderne! Men vi kan nu konstruere en delmængde S, der ikke er med i parringen: For hvert element x i A skal vi afgøre om x skal med i delmængden S eller ej: Hvis x ligger i den tilknyttede delmængde Sx tager vi ikke x med i delmængden (der dermed bliver forskelig fra Sx). Hvis omvendt x ikke ligger i den tilknyttede delmængde Sx tager vi netop x med I delmængden S. (der igen bliver forskellig fra Sx) På den måde sikrer vi os at delmængden S ikke passer mde nogen af delmængderne Sx, dvs. den kommer ikke med I parringen. Konsekvens: Direktøren kan ikke reservere forskellige værelser til alle komiteerne Vi har ingen sikker chance i djævlens allerhelvedes lotto!

46 Cantors uløste problemer I:
Jessens balsal: Hvornår er der lige mange piger og drenge? (i) Antag at drengene byder pigerne op til dans og der er piger nok. (ii) Antag også at pigerne byder drengene op til dans og der er drenge nok. Så er der lige mange piger og drenge og vi kan sende dem ud at danse, så ethvert par stemmer overens med et par fra en af de to danserunder! Bemærkning: Jessens balsal er meget større end Hilberts hotel! Drengemængderne og pigemængderne kan være vilkårligt uendeligt store! Løsning (Dedekind, men Cantor hørte ikke om det!): Vi skal sikre os at bænkevarmerne kommer ud at danse! Enhver bænkevarmer (dreng eller pige!) har i den modsatte danserunde haft mulighed for at byde en partner op. Det starter en kæde af dansepar: Bænkevarmer → Partner ↙ Partners partner → Partners partners partner osv. Kæden (der godt kan være endelig!) skal overholdes. Af dem der bliver til overs skal vi bare trække lod én gang for alle om det er drengenes valg eller pigernes valg, der skal bruges!

47 Cantors uløste problemer II:
Continuum-hypotesen (Hilberts første uløste problem!) Cantor viste at mængden af de reelle tal (kontinuet) er større end mængden af de naturlige tal. Men findes der delmængder af de reelle tal, som er mindre end de reelle tal, men større end de naturlige tal? Cantor var psykisk ustabil og nåede aldrig selv at løse gåden, men troede det ene øjeblik at han kunne bevise den, det næste at han kunne modbevise den. Gødel viste sensationelt at de sædvanlige aksiomssystemer ikke var stærke nok til at modbevise continuumshypotesen. Cohen at de ikke var stærke nok til at bevise den!

48 Cantors uløste problemer II:
Continuum-hypotesen (Hilberts første uløste problem!) Der findes ( mindst!) tre typer af matematikere: Platonikerne: Der findes kun en slags reelle tal og kun en slags delmængder af de reelle tal. Vi må lede efter stærkere aksiomer, der kan finde den absolutte sandhed. Formalisterne: Der findes ikke andet end aksiomssystemer. I nogle aksiomssystemer er den sand I andre er den falsk. Sandheden er altså relativt til hvilket aksiomssystem, du vælger at bruge! Realisterne: Matematikken hænger på de sædvanlige aksiomssystemer som er de eneste vi har grund til at tro på. Spørgsmålet er derfor meningsløst! Gödel (revolutionerende logiker) Som Cantor troede han på eksistensen af uendelige mængder som mentale objekter: (i) First one must close off the other senses, for instance, lying down in a quiet place. It is not enough, however, to perform this negative action, one must actively seek with the mind. (ii) It is a mistake to let everyday reality condition possibility, and only to imagine the combinings and permutations of physical objects — the mind is capable of directly perceiving infinite sets. (iii) The ultimate goal of such thought, and all philosophy, is the perception of the Absolute.