Log-lineære modeller ● Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. ● Ordinal information ignoreres.

Kontingenstabel ● Contingency: mulighed/tilfælde ● Kontingenstabel: antal observationer (frekvenser) i klasser givet ved krydstabullering af et antal variable. ● Tovejs tabel (Powers and Xie side 89): college or above Highschool or less Sex før ægteskab okImod sex før ægteskabholdning/uddannelse Er der en sammenhæng mellem udd. og holdning?

Log-lineær model Antag vi har n personer og to kategoriske variable U og H. Sandsynligheden for at en tilfældig person har holding h og uddannelse u er Den forventede frekvens for U=u og H=h er da

Log-lineær model Generelt antager vi at de log forventede frekvenser er givet ved Som sædvanligt, så er hver kategorisk variabel udstyret med en reference kategori. Parametre der referere til en eller flere reference kategorier er sat lig nul.

Uafhængighed Definitionen på at U og H er uafhængige er at For den log-lineære model betyder det at

Pearson χ 2 -test Optil H 0 hypotese, fx uafhængighed. Lad F uh være de forventede frekvenser under H 0 og f uh være de observerede frekvenser. Da er Pearsons χ 2 -test givet ved Jo større χ 2, jo mindre tror vi på H 0. Som sædvanlig afgør P-værdien/signifikans- sandsynligheden, hvornår χ 2 er ”for stor”.

Modelformel En modelformel er et praktisk alternativ til en matematisk modelformel. Den matematiske formulering har en ækvivalent modelformel: R + C + R*C Da vi overholder det hierarkiske princip kan vi nøjes med at skrive R*C

Modelopbygning ● Først vælger vi variable af interesse. ● Dernæst specificerer vi en startmodel, der overholder det hierarkiske princip. ● Hvis startmodellen indeholder et interaktionsled, hvor alle variable indgår er startmodellen en såkaldt mættet model. ● Herefter tester vi modelled væk under hensynstagen til det hierarkiske princip. ● Vi fjerner det led med størst P-værdi over ● Resultatet kalder vi slutmodellen.

Eksempel Analyse af samvariationen af fire kategoriske variable: ● B:Boligstandard:0=dårlig, 1=acceptabel, 2=god ● H:Helbred:0=godt, 1=dårligt ● I:Isoleret:0=ja, 1=nej ● A:Angst:0=nej, 1=ja

Krydstabel SPSS:analyze – descriptive statistics – crosstabs. H i row, B i column, I i layer 1 og A i layer 2.

Som startmodel bruger vi den mættede model. Matematisk formulering: Modelformel: ABHI

Fortolkning af slutmodel ● Uafhængighed: Hvis A indgår i modelformlen, men A ikke ingår i andre led (fx A*B, A*H*I, osv), så er A uafhængig. ● Forklaret sammenhæng: Hvis B og H ikke indgår i samme led, så er sammenhængen mellem B og H forklaret af andre variable. Dvs. slutmodellen må ikke indeholde B*H, B*H*A, B*H*I og A*B*H*I.

Fortolkning fortsat... ● Homogen sammenhæng: Hvis A*H indgår i modellen, men A*H ikke indgår i mere komplicerede led, så er sammenhængen mellem A og H homogen. Dvs. modellen må ikke indeholde A*H*I, A*B*H, A*B*H*I ● Heterogen sammenhæng: Hvis A*H indgår i modellen som en del af et mere kompliceret led, så er sammenhængen mellem A og H heterogen. Dvs. modellen skal indeholde A*B*I, A*B*H eller A*B*H*I.

Grafisk fortolkning 1) Tegn en cirkel for hver variabel 2) Forbind variable der indgår i samme led ● En isoleret variabel er uafhængig ● To nabo-variable med fælles nabo har en heterogen sammenhæng. ● To nabo-variable uden fælles nabo har en homogen sammenhæng. ● To forbundne ikke-nabo variable har en sammenhæng forklaret af de variable der ligger på ”stier” der forbinder dem.

Eksempel Antag at slutmodellen har modelformelen: A*B + B*H*I Fortolkning: ● Homogen samh. ml. A og B ● Heterogen samh. ml. B og H, B og I, og H og I ● Samh. ml A og I forklaret af B ● Samh. ml. A og H forklaret af B

Modelopbygning i SPSS ● SPSS: Analyze – Loglinear – Model selection... ● Placer relevante (kategoriske) variable under 'Factor' og definer 'Range' for hver (trælst...). ● Under 'Model...' vælg 'Custom' ● Angiv kun de meste komplicerede interaktioner i jeres startmodel (max 5-vejs interaktion). Resten følger af det hierarkiske princip. ● Klik 'OK'

Slutmodel: B*I + H*I + I*A + B*H + B*A + H*A Alle to-vejs interaktioner er med, men ingen tre- vejs interaktioner. Dvs. mellem alle par af variable er der en homogen sammenhæng. Slutmodellen matematisk formuleret:

Parameter estimater + model kontrol ● SPSS: Analyze – Loglinear – General ● Under 'Model' vælg 'Custom' og specificer slutmodellen i fandt med 'Model selection' ● Under 'Options' vælge 'Estimates' ● Alle parametre der refererer til en eller flere reference kategorier er sat til nul. ● Som standard er sidste kategori reference. ● Dvs da B=2 er reference. ● Under 'Options' vælge de to plot for 'Adjusted residuals'

Hvad er den forventede frekvens for kombinationen A=0, B=1, H=0, I=1?

Forventede vs observede frekvenser Ideelt: Expected Counts ≈ Observed Counts

Residualer: Q-Q plot 'Adjusted Residuals' bør være normalfordelte. I såfald vil ”prikkerne” ligge usystematisk omkring en ret linie.