Topologiske betragtninger En kurve er en kontinuert afbildning af intervallet [0,1] ind i R 2 En kurve kan være space-filling, dvs. f.eks. gå gennem ethvert.

Præsentationer af emnet: "Topologiske betragtninger En kurve er en kontinuert afbildning af intervallet [0,1] ind i R 2 En kurve kan være space-filling, dvs. f.eks. gå gennem ethvert."— Præsentationens transcript:

1 Topologiske betragtninger En kurve er en kontinuert afbildning af intervallet [0,1] ind i R 2 En kurve kan være space-filling, dvs. f.eks. gå gennem ethvert punkt i [0,1]× [0,1] Men så skærer den sig selv (meget!) Så vi betragter simple kurver, dvs. uden selvskæringer

2 Jordan’s kurvesætning En kurve er lukket, hvis 0 og 1 afbildes i samme punkt Jordan: Enhver simpel lukket kurve i R 2 deler planen i to sammenhængende områder, det indre og det ydre i forhold til kurven Historisk ikke helt let at se, at dette kræver et bevis Historisk (derefter) ikke helt let at vise

3 Planare grafer En graf er planar, hvis den kan indlejres i planen således, at grafens punkter svarer til forskellige punkter i planen, og hver kant i grafen svarer til en simpel kurve mellem dens endepunkter, således at forskellige kurver højst har endepunkter fælles I givet fald kan indlejringen ske således, at alle kanter svarer til polygonale kurver

4 Kuratowski’s Sætning En underdeling af en graf G er en graf, hvor hver kant i G er erstattet af en vej med de samme endepunkter En graf G og underdelinger deraf har ”samme” indlejringer Kuratowski: En graf er planar, hvis og kun hvis den ikke indeholder en underdeling af K 5 eller K 3,3 som delgraf

5 Carsten Thomassen’s artikel Den for opgaveregningen relevante del: Indeholder en god diskussion af emnet grafer på flader Beviser, at K 3,3 ikke er planar Bruger dette (og et par andre grafteoretiske observationer) til at vise Jordan’s kurvesætning Benytter ikke figurer!

6 Carstens artikel, fortsat Yderligere emner: Jordan-Schönflies’ Sætning Triangulering af flader Nyt bevis for klassifikationen af flader (en flade er et sammenhængende kompakt topologisk rum, der ligner R 2 i hvert punkt) – klassifikationen siger, at de alle fremkommer fra en kugle ved at tilføje ”håndtag” eller ”crosscaps” Carsten fik en pris for denne artikel

7

8 Checkliste Bondy & Murty 2 Delgraf, punkt- og kantsletning Supergraf Maxim al og maxim um Acyklisk graf Udspændende og inducerede delgrafer Vægtet graf Sammentrækning

9 Afsnit 2.4 En dekomposition af en graf G er en samling kantdisjunkte delgrafer som tilsammen bruger alle G’s kanter Hvilke grafer har en vej-dekomposition? Hvilke grafer har en kreds-dekomposition? Exempel på ”Proof Technique” box: Hvor få komplette todelte grafer kan en komplet graf dekomponeres i? Dække (cover)