Signalbehandling og matematik 2 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 9. Design of digital IIR filters Ved Samuel Schmidt

Præsentationer af emnet: "Signalbehandling og matematik 2 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 9. Design of digital IIR filters Ved Samuel Schmidt"— Præsentationens transcript:

1 Signalbehandling og matematik 2 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 9. Design of digital IIR filters Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/ 1

2 Agend Design of Digital IIR filters Opfriskning af Analoge IIR filter Konvertering af analoge filter til digitale filter

3 IIR og FIR filtre IIR – Systemer med uendelige impuls respons har altid mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) FIR – Systemer med endelige impuls respons har ingen betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) General form: Invers transformation: Eksempel:

4 IIR vs FIR filter Hvorfor IIR filtre? – IIR filter har stejlere ”sidelobes” end et FIR filter med samme antal koefficienter. – Dermed hurtigere og mindre hukommelses krævende Hvorfor ikke ? – Et IIR filter har ikke lineær fase – Et IIR filter kan være ustabilt – ET IIR filter er mere sensitivt i for hold til afrundingsfejl

5 Design af digitale IIR filtre ved hjælp af IIR analoge filtre Specifikation af filteret i digitalt domæne Design filteret i det analoge domæne Implementer filteret i det digital domæne Konverter specifikationer til analogt Konverter det analoge filter til det digitale domæne

6 Navne af frekevnes variabler i kontinuær og diskret domæne Kontinuer signalerDiskrete signaler Frekvens:F (Hz)f=F/F s (Normaliseret frekvens) Vinkel hastighed :Ω=2πF (Radianer / sekund)ω=2πf (Radianer / sample) Konvertering Ω=ω/Tω=ΩT Afgrænsning-∞< Ω< ∞- π/T < ω<π/T T= samplings perioden

7 Laplace og z-transformation Z-transformtion

8 Analogt system på rational form Overførsles funktion i laplace domænet

9 Definitioner på filter

10 Typiske analoge IIR filter Butterworth Chebyshev Elliptic filters

11 Analogt Butterworth filter Er et ”all pole” filter – Kvadreret frekvens amplitude respons N:filter orden Ω c : 3dB knæk frekvens Laplace transformation Polerne vil ligge spejlet omkring den imaginære akse: Defineret ved

12 Stabile systemer in z og s domænet Z: Poler skal være i enhedscirklen Re Im 1 1 * 1/2 * 1/3 12 σ jΩjΩ 1 1 * 1/3 s: Poler skal være i venstre halvdel

13 3 metoder til konvertering af analoge IIR filtre til digitale IIR filtre Approksimation af afledte Impuls invarians Bilineær Transformation

14 Digitale IIR filtre ved hjælp af approksimation af afledte (1) Simple metode: – Analogt filter defineret ved differantial funktion – Til diskret differencs funktion

15 Digitale IIR filtre ved hjælp af approksimation af afledte (2) Simple metode: – Overførsels funktionen af dy(t)/dt i Laplace – Overførsels funktionen i diskret domæne – Sammenhæng mellem Laplace og z-transformation k th orden:

16 Sammenhæng mellem Laplace og z-transformation k th orden: Sammenhæng mellem overførsels funktion i Laplace og z domænet Digitale IIR filtre ved hjælp af approksimation af afledte (3)

17 Mapping fra s-plan til z-plan RealImg. Substituer s=jΩ Adskil den reelle del og den imaginære del S-planet mappes til et mindre område omkring den positive reelle akse

18 Begrænsning af approksimation af afledte S-planet mappes til et mindre område omkring den positive reelle akse Derfor er metoden kun velegnet til lavpas og båndpas filtre med lave knæk frekvenser

19 Eksempel Proakis 10.3.1

20 IIR filter ved hjælp af Impuls invarians Metode: Sample impuls responsen Implus respons fra analogt filter efter partial brøksopspaltning Samplet implus respons

21 genvej fra poler i s domænet til poler i z domænet (1/2) Ved at substituere i z- tranformationen fåes Z-transformtion

22 genvej fra poler i s domænet til poler i z domænet (2/2) Derfor gælder det at hvis laplace transformatioen har formen Har z-transformationen følgende form Derfor

23 Mapping fra s til z planet Punkt på s planet Fra s til z Punkt på z planet (polar form) Dermed har vi :

24 Aliasing af i frekvens spektrum a impuls respons Sammenhængen mellem Diskret og analogt frekvens spectrum Hvis: Så

25 Eksempel Proakis 10.3.3

26 Bilineær Transformation Bevis baseret på analog integrator:

27 Bilineær Transformation Ved den Bilineær Transformation sættes s lig med Det betyder at:

28 Karakteristika ved Bilineær Transformation (1) Sammenhæng mellem σ og ω Set z på polar form z=re jω σjΩjΩ σ jΩjΩ 1 1 Hvis r<1: er σ<0 Hvis r>1: er σ>0

29 Karakteristika ved Bilineær Transformation (2) Poler fra højre side i s-planet ligger udenfor enhedscirkelen. Modsat poler fra venstre side i s-planet som ligger indenfor enhedscirklen Re Im 1 1 29 σ jΩjΩ 1 1

30 Karakteristika ved Bilineær Transformation (3) Sammenhæng mellem ΩT og ω

31 Karakteristika ved Bilineær Transformation (4) Re Im 1 1 31 σ jΩjΩ 1 1

32 Eksempel 10.3.4