Økonometri 1: Heteroskedasticitet1 Økonometri 1 Heteroskedasticitet 26. oktober 2004.

Præsentationer af emnet: "Økonometri 1: Heteroskedasticitet1 Økonometri 1 Heteroskedasticitet 26. oktober 2004."— Præsentationens transcript:

1 Økonometri 1: Heteroskedasticitet1 Økonometri 1 Heteroskedasticitet 26. oktober 2004

2 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 2 Dagens program Hovedemnet for denne forelæsning er heteroskedasticitet (kap. 8.1-8.3) Lineære sandsynlighedsmodel (kap 7.5) Konsekvenser af heteroskedasticitet Hvordan kan man teste i modeller med heteroskedasticitet? Korrektion af variansen af OLS estimatoren Hypotesetest i modeller med heteroskedasticitet: t, F, W, LM Test for heteroskedasticitet  Grafisk test  Breusch-Pagan test  White test

3 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 3 Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)? Indtil nu har vi betragtet den afhængige variabel som en kvantitativ variabel (løn, priser, forbrug, indkomst) Afhængige variabel:  Diskret variabel med to værdier Eksempler:  Deltagelse på arbejdsmarkedet eller ej  Bestået et kursus eller ej  Om man har bil eller ej  Videregående udd. eller ej  Har investeret i aktier eller ej  Firma gået konkurs eller ej

4 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 4 Lineær sandsynlighedsmodel Når den afhængige variabel er en kvalitativ variabel med to kategorier, kan man lave en dummyvariabel: y=0 eller y=1 Regressionsmodellen: Denne model kaldes den lineære sandsynligheds- model (på engelsk: Linear probability model, LPM) Fortolkningen af estimaterne i denne model er anderledes end i den ”alm.” lineære regressionsmodel  Parameteren kan ikke fortolkes som ændringen i y givet en enhedsændring i

5 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 5 Lineær sandsynlighedsmodel Hvis antagelsen MLR.3 er opfyldt: Er den betingede middelværdi af y For binære variable gælder det Altså Hvor er respons sandsynligheden

6 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 6 Lineær sandsynlighedsmodel Fortolkning af parameteren i en LPM: Parametrene angiver ændringen i sandsynligheden for y=1 som følge af, at de forklarende variable ændres med en enhed Sandsynligheden for y=0 (betinget på x) kan også udregnes som LPM kan estimeres med OLS Hvor skal fortolkes som den predikterede sandsynlighed (for y=1)

7 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 7 Lineær sandsynlighedsmodel Ulemper ved LPM: Prediktionerne er ikke 0 eller 1, som de tilladte værdier af den afhængige variabel Predikterede sandsynligheder kan være negative eller overstige 1 Normalt ligger den predikterede sandsynlighed mellem 0 og 1, når man ser på værdier af de forklarende variable der ligger omkring gennemsnittet.

8 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 8 Lineær sandsynlighedsmodel Gauss Markov antagelserne: MLR.1-4 kan godt være opfyldt for LPM LPM opfylder ikke antagelsen MLR.5 (Homoskedasticitet) Variansen af y betinget på x kan udregnes til Variansen afhænger altså af x

9 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 9 Lineær sandsynlighedsmodel Egenskaber ved OLS estimatoren i LPM  OLS estimaterne er middelrette (givet MLR.1-4)  Standardfejlene af estimaterne er ikke middelrette  F og t test ikke pålidelige Problemet med heteroskedasticitet kan løses ved at korrigere standardfejlene (dette ser vi på i kap. 8): Sjældent noget alvorligt problem. Problemet med negative ssh. og ssh. over 1 kan kun løses ved at benytte en anden model end LPM. De nye modeller introduceres i økonometri 2

10 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 10 Heteroskedasticitet I kapitel 3 blev antagelsen om homoskedasticitet introduceret: Samme varians på fejlleddet for alle i Antagelsen kan være meget restriktiv i praksis og derfor vil vi se på tilfælde med heteroskedasticitet Definition: Se på lineær multipel regressionsmodel Under antagelserne MLR.1- MLR.4 er OLS middelret og konsistent MLR.5 er antagelsen om homoskedasticitet

11 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 11 Heteroskedasticitet (fortsat) Hvis MLR.5 ikke er opfyldt, er fejlleddene heteroskedastiske OLS estimatorens egenskaber ved heteroskedasticitet: +OLS stadig middelret og konsistent -Variansen af OLS estimaterne er ikke middelret -Konfidensintervallet er ikke rigtigt konstrueret -t og F-test er ikke nødvendigvis t og F-fordelt, LM test er ikke nødvendigvis fordelt (og derfor er disse test ikke pålidelige)  OLS er ikke længere den bedste lineære middelrette estimator (BLUE): Der findes andre lineære middelrette estimatorer med mindre varians  OLS er ikke længere asymptotisk efficient

12 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 12 Hvordan kan man teste i modeller med heterosk.? Heteroskedasticitet i fejlleddet betyder, at et test der er baseret på OLS estimation kun er gyldigt, hvis man korrigerer standardfejlene for heteroskedasticitet. Til det formål er der udviklet såkaldt heteroskedasticitets- robuste test. Antag: Modellen lider af heteroskedasticitet af ukendt form: Vi antager altså, at fejlleddet til hver enhed (individ, firma, land) har sin egen varians (meget generel form) Homoskedasticitet kan ses som et specialtilfælde hvor

13 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 13 Hvordan kan man teste i modeller med heterosk.? Ideen er at opnå en estimator for variansen af OLS estimatoren, som er konsistent selvom om der er heteroskedasticitet i fejlleddet. Se på simpel lineær regressionsmodel: Udregn variansen af OLS estimatoren, når MLR.1- MLR.4 er opfyldt, men den betingede varians af fejlleddet er givet ved (#): MLR.5 holder ikke. Variansen af OLS estimatoren er i det generelle tilfælde givet ved

14 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 14 Korrektion af variansen i en simpel lineær regressionsmodel Leddene i tælleren gives forskellig vægte, afhængig af Homoskedasticitet: OLS variansen reduceres til: White (1980) har vist, at under svage betingelser vil en gyldig estimator af OLS variansen være givet ved Heteroskedasticitets-robust varians og heterosk. robuste standardfejl (White’s standard errors). Beregnes fx med Proc Reg i optionen ACOV i SAS.

15 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 15 Korrektion af variansen i en multipel lineær regressionsmodel

16 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 16 Test i modeller med heteroskedasticitet: Enkelt restriktion Heteroskedasticitets-robust t-test: Hypotese: t-teststørrelse: hvor s.e. er heterosk. robust standardfejl på t-teststørrelsen er asymptotisk standard normalfordelt For små datasæt er t-teststørrelserne ikke nødvendigvis tæt på en t-fordeling

17 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 17 Test i modeller med heteroskedasticitet: Flere restriktioner Hypotese: hvor ß er en (k+1)x1 vektor af parametre og R er en q x(k+1) matrix og r er en q x1 vektor Heterosk. robust F-test kan beregnes ud fra robust kovarians Heterosk. robust Wald test: Wald-teststørrelsen Det er dette test som udføres ved brug af ACOV optionen i SAS

18 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 18 Eksempel Model for efterspørgsel efter cigaretter (Ex. 8.7) Est.Std.errRobust std. Err Const-3.6324.0825.51 Lincome0.880.720.59 Lprice-0.755.776.01 Educ-0.500.16 Age-0.770.160.14 Age2-0.010.001 Rest-2.821.111.00

19 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 19 Eksempel Hypoteseprøvning Hypotese t-teststørrelse Robust t-teststørrelsen Robust wald test

20 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 20 Test i modeller med heteroskedasticitet: Flere restriktioner Heterosk. robust LM test (se side 263) Antag flg. model Hypotese Robust LM test Trin 1: Estimer restrikterede model med OLS Og gem residualerne

21 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 21 Test i modeller med heteroskedasticitet: Flere restriktioner Trin 2: Estimer flg. hjælperegression med OLS Og gem residualerne Trin 3: Dan et nyt sæt af variable Trin 4: Estimer flg. hjælperegression LM-teststørrelsen er givet ved n-SSR fra ovenstående regression LM testet er asymptotisk

22 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 22 Hvornår er der heteoskedaticitet? Hvornår er der i praksis heteroskedaticitet Data består af gennemsnit over forskellige antal observationer  F.eks. Per capita variable for forskellige lande  Gennemsnits for forskellige kommuner Forkert funktionel form  Hvis fejlleddet er proportional med den afhængige variabel kan problemet nogle gange løses ved at lave en transformation med logaritmen Heteroskedasticitet knytter sig til den enkelte model og det enkelte datasæt

23 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 23 Test for heteroskedasticitet Hvordan tester man for heteroskedasticitet? Antag følgende model hvor antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt Hypotese: Alternativ formulering af hypotesen Hvis hypotesen er forkert er en funktion af x’erne

24 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 24 Test for heteroskedasticitet Grafiske test: Estimer modellen med OLS Udregn og gem OLS residualerne Plot residualerne eller de kvadrerede residualer mod de forskellige forklarende variable eller den forudsagte værdi af den afhængige variabel Se efter systematiske mønstre i spredningen af residualerne

25 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 25 Test for heteroskedasticitet Hvis man antager en simpel lineær relation svarer nulhypotesen om homoskedasticitet til Denne hypotese kan testes ved at erstatte de sande fejlled med OLS residualerne Testet udføres enten som et F-test eller et LM test For store datasæt vil F og LM test have de sædvanlige fordelinger selvom man erstatter de sande fejlled med OLS residualerne

26 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 26 Test for heteroskedasticitet Regressionen (*) udføres og R 2 u for denne regression noteres F-teststørrelsen er givet ved Teststørrelsen er approx. F(k,n-k-1)-fordelt under nul- hypotesen (homoskedasticitet) LM teststørrelsen Dette test bliver ofte kaldt Breusch-Pagan testet

27 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 27 Test for heteroskedasticitet Specialtilfælde af BP-testet:  Hvis man mistænker, at variansen kun afhænger af en bestemt variabel.  Testet udføres ved at regressere de kvadrerede residualer på den pågældende variabel.  Bemærk at antallet af frihedsgrader er ændret for både F-testet (antal frihedsgrader: 1,n-1-1) og LM testet ( ) Alternativt test: Whites test for heteroskedasticitet  Betingelsen kan erstattes af svagere betingelse:  u 2 skal være ukorreleret med alle forklarende variable (x j ), de forklarende variable i anden (x 2 j ) og alle krydsprodukterne (x j x l )

28 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 28 Test for heteroskedasticitet Antag vi har en model med k=3 Hjælperegressionen for White’s test NB: 9 forklarende variable Hypotese Teststørrelsen findes som et LM test

29 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 29 Test for heteroskedasticitet Forenklet White’s test: Hjælperegression Hypotese Testet konstrueres som Fordelen ved dette test er at antallet af frihedsgrader er lavere White’s test har asymptotisk gyldighed og er altså bedst for store datasæt

30 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 30 Test for heteroskedasticitet Husk alle disse test er udledt under forudsætning af, at antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt Hvis antagelse MLR.3 ikke er opfyldt kan man få at test for homoskedasticitet bliver afvist selvom antagelsen MLR.5 er opfyldt Så afvisning af homoskedasticitet skal skyldes mere generelle former for misspecifikation: Kapitel 9

31 Økonometri 1: Heteroskedasticitet 31 Næste gang: Fredag den 29/10. Heteroskedasticitet: Kapitel 8.4-8.5  Estimatorer, der tager højde for heteroskedasticitet: Vægtet mindste kvadraters estimation (WLS, FGLS)  Lidt mere om den lineære sandsynlighedsmodel