Statistik Lektion 8 Test for ens varians.

Præsentationer af emnet: "Statistik Lektion 8 Test for ens varians."— Præsentationens transcript:

1 Statistik Lektion 8 Test for ens varians

2 Fra tidligere Hvis populationen er normalfordelt med varians s2, så gælder hvor n er stikprøve størrelsen og S2 er stikprøvevariansen. c2-fordeling med n-1 frihedsgrader

3 Test af Variansen Antagelse: Populationen er normalfordelt med varians s2. Hypoteser: Teststørrelse: Under H0 følger c2 en c2-fordeling med n-1 frihedsgrader Kritiske værdier: Nu: Teste for ens varians i to uafhængige stikprøver.

4 F-fordelingen F-fordelingen er fordelingen af brøken af to c2-fordelte stokastiske variable, der er uafhængige og hver er divideret med antallet af dens frihedsgrader. Antag c21 og c22 er uafhængige og c2-fordelte med hhv. k1 og k2 frihedsgrader. Definer Da følger F en F-fordelingen med k1 og k2 frihedsgrader.

5 F-fordeligen på hovedet
Antag c21 og c22 er uafhængige og c2-fordelte med hhv. k1 og k2 frihedsgrader. Definer Så følger F en F-fordeling med k1 og k2 frihedsgrader. Vi har Dvs. F-1 følger en F-fordelingen med k2 og k1 frihedsgrader.

6 F-tabellen Critical Points of the F Distribution Cutting Off a Right-Tail Area of 0.05 k k2 F-fordelingen med 7 og 12 frihedsgrader . 7 . 6 0.05 . 5 F ) . 4 f ( . 3 0.05 . 2 . 1 . F 1 2 3 4 5 3.01 1/F12,7,0.05 = 0.278 F7,12,0.05 = 3.01 Når man skal finde det venstre kritiske punkt, kan man bruge følgende sammenhæng:

7 Kritiske punkter i F fordelingen
Tabelopslag i R > qf(0.95,df1=6,df2=9) [1] > qf(0.05,df1=6,df2=9) [1] Det højresidet kritiske punkt: F6,9,0.05 = 3.37 Det tilsvarende venstresidet punkt: F-fordeling med 6 og 9 frihedsgrader . 7 . 6 0.90 . 5 ) 0.05 F . 4 ( f . 3 0.05 . 2 . 1 . 1 2 3 4 5 F F6,9,0.95 = 1/F9,6,0.05 = F6,9,0.05 = 3.37

8 Stikprøve-variansen i to grupper
Antag vi har to normalfordelte populationer. Vi har n1 observationer fra population 1. Lad s21 betegne stikprøve-variansen for pop. 1. Lad s21 betegne populations-variansen for pop.1 Vi har fra tidligere: Tilsvarende for stikprøven fra population 2. c2-fordelt med n1-1 frihedsgrader

9 Forholdet mellem to stikprøve-varianser
Hvis de to stikprøver er uafhængige har vi: Dvs. Det kan omskrives til og

10 Test for ens varians 1 = 2
Teststørrelsen til test for ens populations varians i to normalfordelte populationer er givet ved: I: Tosidet test: 1 = 2 H0: 1 = 2 H1: 2 II:Ensidet test 12 H0: 1  2 H1: 1  2

11 Eksempel Kritiske værdier: Hypoteser: Signifikansniveau: a = 0.10
Population 1 Population 2 Teststørrelse: H0 kan ikke afvises på signifikans-niveau 10%, da teststørrelsen ikke er større end 3.28 eller mindre end 0.35.

12 Eksempel i R Start med at definere alle variable
> n1 = 13; s1 = 0.12; n2 = 9; s2 = 0.11 Hefter kan vi udregne teststørrelsen > f = s1^2/s2^2 > f [1] De kritiske værdier finder vi vha. > qf(c(0.05,0.95),n1-1,n2-1) [1] Da 1.19 ligger mellem de to kritiske værdier kan vi ikke afvise H0.

13 Test vha. P-værdi Antag: F ~ Fn1-1,n2-1
Hvis F>1, så er P-værdien 2·P(F > F) I R: > 2*pf(f, n1-1, n2-1, lower.tail=F) [1] Hvis F<1, så er P-værdien 2·P(F < F) > 2*pf(f, n1-1, n2-1, lower.tail=T) = P-værdi = 2· F P-værdi = 2· F

14 Sammenligning af to varianser i R
Er der en forskel variansen for mænd og kvinders vægt? Altid plot før test! > sundby = read.table("Sundby95.dat", header=T) > library(trellis) # udvidelse med ekstra plot-funktioner > histogram(~ vaegt | koen, data=sundby)

15 Lidt mellemregninger Først definerer vi variable for hhv. mænd og kvinder vægt: > vaegt.maend = sundby$vaegt[sundby$koen=="Mand"] > vaegt.kvinder = sundby$vaegt[sundby$koen=="Kvinde"] Derefter finder vi de to varianser vi skal bruge > var(vaegt.maend,na.rm=T); var(vaegt.kvinder,na.rm=T) [1] [1] Dvs. variansen for hhv. mænd og kvinder er

16 Hypotesetest Hypoteser H0 : vs H1: Teststørrelse
P-værdi > 2*pf(1.236, 1205, 1430, lower.tail=F) [1] Da P-værdien << 5% kan vi (meget klart) afvise nulhypotesen om ens varians. = P-værdi = 2· 1.24

17 Hypotesetest i R Hypoteser H0 : vs H1:
Test af ens varians > var.test(vaegt.maend, vaegt.kvinder) F test to compare two variances data: vaegt.maend and vaegt.kvinder F = 1.236, num df = 1205, denom df = 1430, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to percent confidence interval: sample estimates: ratio of variances

18 Vigtigste fordelinger i kurset
Binomial B(n,p) Normal N(m,s2) c2 c2(n) t t(n) F F(k1,k2)