Integraler og differentialligninger

Præsentationer af emnet: "Integraler og differentialligninger"— Præsentationens transcript:

1 Integraler og differentialligninger
SPØRGSMÅL 20

2 Generelt om integraler og differentialligninger
En differentialligning er kort og godt en ligning hvor der indgår en differentieret funktion som en af de ubekendte. Løsningen af differentiallingen er de funktioner, der får ligningen til at være sand. Matematisk integration kan ses som modstykket til differentiation. I differentialregning ønsker vi at finde en afledet funktion ud fra en givet funktion, men i integralregning ønsker vi, at vi givet en funktion kan finde ud af, hvad den er afledet til.

3 Generelt om integraler og differentialligninger (integration af potensfunktion)
Sætning: Integration af potensfunktion For en potensfunktion 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑎 gælder, at 𝑓𝑜𝑟 𝑎≠−1 𝑥 𝑎 𝑑𝑥= 1 𝑎+1 𝑥 𝑎+1 +𝑐 Beviset på dette: 𝑎≠−1: 𝐹 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑎+1 𝑥 𝑎+1 +𝑐 ′ = 1 𝑎+1 ∗ 𝑎+1 ∗ 𝑥 𝑎+1−1 = 𝑥 𝑎

4 Redegørelse for stamfunktion
Som eksempel er 𝐹(𝑥) stamfunktion til 𝑓(𝑥) hvis: 𝐹 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥 Og kan også skrives som: 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Eller: 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 +𝑘 hvor 𝑘 er en vilkårlig konstant

5 Redegørelse for stamfunktion
Et eksempel på at finde stamfunktion i forhold til differentiation og integrationsregning: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 Differentiation: 𝑓´ 𝑥 =2𝑥 Integration: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 1 3 𝑥 3

6 Regneregel for integraler og eksempel på anvendelse
𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 … og anvendelse 3 𝑥 2 +4𝑥+2 𝑑𝑥 =3∗ 1 3 𝑥 3 +4∗ 1 2 𝑥 2 +2𝑥+𝑐 = 𝑥 3 +2 𝑥 2 +2𝑥+𝑐

7 Integralregning til bestemmelse af arealberegning
𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛: 𝒇 𝒙 =− 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟒,𝟓 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙: −𝟑;𝟑

8 Integralregning til bestemmelse af arealberegning
𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟 𝑀= −3 3 − 1 2 𝑥 2 +4,5 𝑑𝑥= − 1 2 ∗ 1 3 𝑥 2−1 +4,5 −3 3 = −1 6 𝑥 3 +4,5𝑥 −3 3 = −1 6 ∗ ,5∗3− −1 6 ∗ − ,5∗ −3 = − ,5− −13,5 = − =−9+27=𝟏𝟖