Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal.

Præsentationer af emnet: "Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal."— Præsentationens transcript:

1 Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal

2

3

4

5 ”Lokes Høj” 64 brikker Hiscore 450 Antal ombytninger 500 - 450 = 50 Hvordan opnår man et lavt antal ombytninger – held eller dygtighed ?

6 Cykler (Permutationer) Hver pil peger på brikkens korrekte plads Definerer en mængde af cykler (fx cyklerne A,B,C,D)

7 Ombytninger og Cykler Lemma En ombytning af to brikker i samme cykel øger antallet af cykler med én. En ombytning af to brikker fra to forskellige cykler reducerer antallet af cykler med én.

8 Lemma Når alle n brikker er korrekt placeret er der præcis n cykler. Lemma For at løse et puslespil med n brikker og k cykler I starten kræves ≥ n – k ombytninger. Har vist en nedre grænse for ALLE algoritmer der løser problemet

9 En (grådig) algoritme

10 Lemma Algoritmen bytter aldrig om på brikker der står korrekt. Lemma Algoritmen udfører ≤ n -1 ombytninger Har vist en øvre grænse for en konkret algoritme Lemma For at løse et puslespil med n brikker og k cykler I starten udfører algoritmen præcis n – k ombytninger. Algoritmen er optimal da antal ombytninger er bedst mulig

11 Sætning For at løse et puslespil med n brikker og k cykler i starten kræves præcis n – k ombytninger

12 Fordelingen af antal cykler n = 64, 10.000.000 permutationer

13 Hvad har vi så lært… ?

14 Algoritmisk indsigt…  Matematisk indsigt (cykler)  Resourceforbrug (antal ombytninger)  Nedre grænse ( ≥ n - k ombytninger)  Grådig algoritme  Analyseret algoritmen ( ≤ n - k ombytninger)  Optimal algoritme (argumenteret bedst mulig)  Input afhængig resourceforbrug

15 Tilfældige permutationer… Yderligere information kan findes i David J.C. MacKay, tillæg til Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, om "Random Permutations“, 4 sider. http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/itila/cycles.pdf

16 Et andet eksempel på en beregningsprocess…

17

18 Max-Delsum

19 Algoritme 1 1234567812345678

20 Algoritme 2 12345671234567

21 Algoritme 2b 123456789123456789

22 Algoritme 3 123456123456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

23 Algoritme 3 : Analyse Rekursionstræet Observation Samlet mængde additioner per lag er ~ n # additioner ~ n · # lag ~ n · log 2 n Additioner

24 Algoritme 4 Invariant maxsofar = 12 maxendinghere = 10 0123i-1i -33-465-2-7423x 12345671234567

25 Max-Delsum: Algoritmiske idéer Algoritme# additionerIdé 1~ n 3 Naive løsning 2 + 2b~ n 2 Genbrug beregninger 3~ n · log nDel-og-kombiner 4~ nInkrementel

26 Sammenligning

27 Sammenligning: n 3 og n

28 Sammenligning 2009 x-akse = n, y = sekunder, hvert eksperiment gennemsnit af 10 kørsler (gcc 4.1.2, C, Linux 2.6.18, Intel Xeon 3 GHz) maxsum1 ≈ n 3

29 Sammenligning 2009 x-akse = n, y = sekunder, hvert eksperiment gennemsnit af 10 kørsler (gcc 4.1.2, C, Linux 2.6.18, Intel Xeon 3 GHz) maxsum2a og maxsum2b ≈ n 2

30 Sammenligning 2009 x-akse = n, y = sekunder, hvert eksperiment gennemsnit af 10 kørsler (gcc 4.1.2, C, Linux 2.6.18, Intel Xeon 3 GHz) maxsum3 og maxsum4 ≈ n ???

31 Sammenligning 2009 x-akse = n, y = sekunder, hvert eksperiment gennemsnit af 10 kørsler (gcc 4.1.2, C, Linux 2.6.18, Intel Xeon 3 GHz) maxsum4 ≈ n

32 Sammenligning 2009 x-akse = n, y = sekunder, hvert eksperiment gennemsnit af 10 kørsler (gcc 4.1.2, C, Linux 2.6.18, Intel Xeon 3 GHz) maxsum3 ≈ c 1 ·n·log n+c 2 ·n

33 Algoritmisk indsigt...  Gode idéer kan give hurtige algoritmer  Generelle algoritme teknikker –Del-og-kombiner –Inkrementel  Analyse af udførelsestid  Argumenteret for korrektheden  Invarianter