W4a1 PC baseret analyse og simulering. w4a2 Stokastiske processer.

Præsentationer af emnet: "W4a1 PC baseret analyse og simulering. w4a2 Stokastiske processer."— Præsentationens transcript:

1 w4a1 PC baseret analyse og simulering

2 w4a2 Stokastiske processer

3 w4a3 Deterministiske processer

4 w4a4 Deterministiske vs. stokastiske processer Et eksempel: – Dissociation af et molekyle AB A + B er en stokastisk proces – et molekyle har ikke nogen hukommelse. – Dissociation af et mol (6.03*10 23 molekyler) er en deterministisk proces, beskrevet af: D[AB]/dt = -k[AB]

5 w4a5 Fluktuationer Hvis man adderer n identiske, uafhængige stokastiske processer, vil disse fluktuere omkring en middelværdi, med en varians der bliver relativt mindre jo større n er.

6 w4a6 Fluktuationer som funktion af n Generelt er fluktuationerne i størrelsesordenen (n) 1/2 : N = 100 – SD = 10 N = 10 20 – SD = 10 10

7 w4a7 Deterministiske processer Når fluktuationerne bliver forsvindende små kalder vi processen deterministisk Vi kan beregne hvor processen befinder sig på et tidspunkt ude i fremtiden.

8 w4a8 Deterministiske modeller Modeller af deterministiske processer formuleres normalt som differential- ligninger, med tiden som uafhængig variabel. df(x)/dt = ????? Disse ligninger kan være svære at løse formelt

9 w4a9 Integration af ODE ODE - ordinary differential equations Initial value problems 9

10 w4a10 Numerisk løsning En iterativ process

11 w4a11 Integration af ODE Euler approximation y n+1 = y n + hf’(x n,y n ) 11

12 w4a12 h – Step -  t Step størrelsen skal vælges, så: – Den er kort i forhold til hele processen – Hældningen af funktionen ikke varierer for meget i intervallet (adaptiv kontrol)

13 w4a13 Euler metoden Tager kun hensyn til hældningen i begyndelsen af intervallet

14 w4a14 Euler approximation

15 w4a15 Runge Kutta

16 w4a16 Koefficienterne

17 w4a17 Runge Kutta Tager hældningen inde i intervallet i betragtning